Lefschetz 分解

定理 6.4（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体とする。

$k\le n$ のとき、類 $c\in H^k(X,\mathbb{C})$ が原始類であることと、その調和代表元 $h$ が各点で $\Lambda h=0$ をみたすことは同値である。
各 $k$ について $H^k(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{j\ge\max(0,k-n)}L^jP^{k-2j}(X)$ で、この範囲の $j$ について $L^j$ は $P^{k-2j}(X)$ の上で単射である。
$P^k(X)=\bigoplus_{p+q=k}P^{p,q}(X)$ で、 $H^{p,q}(X)=\bigoplus_{j\ge\max(0,p+q-n)}L^jP^{p-j,q-j}(X)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 290 件、定義なども含めて 329 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

難 Lefschetz 定理✓定理 6.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 三つの Laplacian の一致✓系 6.4・Kähler 多様体
  - Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体
    外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
    形式的随伴の性質✓補題 6.2・Kähler 多様体この先をたどる →
    Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体この先をたどる →
    型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体この先をたどる →
- sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論
  - 単純イデアルへの分解✓定理 8.2・Lie 環の構造論
    Cartan の判定法✓定理 7.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
  - Casimir 作用素の性質✓補題 9.1・Lie 環の構造論
- sl(2,C) の既約表現の分類✓定理 10.1・Lie 環の構造論

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Hodge–Riemann の双線形関係式✓定理 7.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 指数定理✓系 7.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解

Lefschetz 分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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