Hodge 指数定理

系 7.3（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクトで連結な Kähler 曲面とし、 $H^{1,1}(X,\mathbb{R})=K^{1,1}\cap H^2(X,\mathbb{R})$ とおく。

$H^{1,1}(X,\mathbb{R})$ は実 $h^{1,1}$ 次元で、その上の交点形式の符号は $(1,h^{1,1}-1)$ である。すなわち $[\omega]$ の上で正で、 $[\omega]$ の直交補空間の上で負定値である。
$b^+=2h^{2,0}+1$ 、 $b^-=h^{1,1}-1$ で、 $\sigma(X)=\sum_{p,q}(-1)^ph^{p,q}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 305 件、定義なども含めて 345 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
Lefschetz 分解✓定理 6.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 難 Lefschetz 定理✓定理 6.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 三つの Laplacian の一致✓系 6.4・Kähler 多様体この先をたどる →
  - sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
  - sl(2,C) の既約表現の分類✓定理 10.1・Lie 環の構造論
Hodge–Riemann の双線形関係式✓定理 7.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Lefschetz 分解✓定理 6.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Weil の公式✓補題 7.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Hodge スターと型✓補題 2.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Hodge スターと型✓補題 2.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Hodge スター定義 2.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Wirtinger の定理とその帰結✓定理 4.3・Kähler 多様体
  - J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- ∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Hodge 指数定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）