数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Hodge Laplacian の解析的性質

定理 4.2（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 173 件、定義なども含めて 199 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式

    • 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    • 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    • シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
  • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
• Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
    • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
    • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
  • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  • Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 弱微分と $W^{k,p}$定義 2.1・Sobolev 空間
  • $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間

    • 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
    • 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
  • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間（上で展開済み）
    • Rellich のコンパクト性定理✓定理 5.1・Sobolev 空間 この先をたどる →
  • Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論

    • Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎

    • 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    • 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  • 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
• 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

関連するノック 1 問

• 微分幾何学 第 56 問