数学 › 複素幾何 › Hodge 分解と Lefschetz 分解
(0,•) 形式の Clifford 加群の構造
を Hermite 多様体とする。
- 、 である。
- は、Hermite 内積と両立し、すべてのベクトル場 について （右辺の は Levi-Civita 接続）をみたす接続 をもつ。
- が Kähler 計量なら、Levi-Civita 接続から に誘導される接続は 2 の二つの性質をもつ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 124 件、定義なども含めて 147 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
- J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
- べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論 この先をたどる →
- 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論 この先をたどる →
- C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
- 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー この先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー この先をたどる →
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
- シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解