Ricci 形式と第一 Chern 類

定理 7.2（「Kähler 多様体」§7）・ ✓公理まで証明済み

$(X,g)$ を $n$ 次元 Kähler 多様体、 $R$ を Riemann 曲率テンソル（定義 2.1［曲率テンソル］）とする。

$R(u,v)$ は $J$ と可換で、 $R(Ju,Jv)=R(u,v)$ 、 $\operatorname{Ric}(Ju,Jv)=\operatorname{Ric}(u,v)$ である。したがって $\rho$ は実の $(1,1)$ 形式である。
正則接束 $(TX,h)$ の Chern 接続の曲率を $F$ とすると $\rho=i\operatorname{tr}F$ で、正則座標で

\rho=-i\,\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})

である。 3. $\rho$ は閉形式で、 $i$ 倍を除いて、 $K_X^{*}=\det TX$ に $h$ から誘導された計量を入れたときの Chern 接続の曲率に等しい。その de Rham 類は $[\rho]=2\pi c_1(X)$ である（ $c_1(X)=c_1(TX)$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 157 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
- J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
- 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
    可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
  - 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
    ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続この先をたどる →
    曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  - 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
    切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →

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Calabi の一意性定理✓命題 7.4・Kähler 多様体

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