複素部分多様体・解析的部分集合・解析的超曲面

$X$ を $n$ 次元複素多様体とする。

1. 部分集合 $Y\subseteq X$ が $k$ 次元複素部分多様体であるとは、各 $p\in Y$ に対して $X$ の正則チャート $(U,\varphi)$ で、$p\in U$ かつ $\varphi(U\cap Y)=\varphi(U)\cap(\mathbb{C}^k\times\{0\})$ となるものがあることをいう。$n-k$ を余次元という。
2. 閉集合 $A\subseteq X$ が解析的部分集合であるとは、各 $p\in A$ が開近傍 $U$ をもち、有限個の $f_1,\dots,f_m\in\mathcal{O}(U)$ によって $A\cap U=\{x\in U:f_1(x)=\dots=f_m(x)=0\}$ と書けることをいう。
3. 解析的部分集合 $A$ が解析的超曲面であるとは、2 で各点について $m=1$ と取れ、しかも $f_1$ がどの点の近傍でも恒等的に $0$ ではないことをいう。このような $f_1$ を $A$ の $U$ 上の局所定義関数という。
4. 閉集合 $A\subseteq X$ が薄いとは、各 $p\in A$ が連結な開近傍 $U$ と、恒等的に $0$ ではない $h\in\mathcal{O}(U)$ をもち、$A\cap U\subseteq\{h=0\}$ となることをいう。