Kodaira の消滅定理と埋め込み定理：正の直線束が射影多様体を特徴づける

0. この記事の要点

複素数を座標にもつ曲がった空間（複素多様体）が、射影空間の中に多項式の方程式で切り出された図形として実現できるのは、どんなときでしょうか。この記事の答えは、空間の上に「曲率が正」という性質をもつ直線束（各点に 1 次元の複素ベクトル空間が付いた束）があることです。その鍵になるのが、曲率が正なら一部のコホモロジー（空間の穴の測り方）が $0$ になるという消滅定理と、点を射影空間に置き換える爆発という操作です。読み終えると、この二つから射影空間への埋め込みが得られる流れを追えるようになります。

• 第一 Chern 形式 $\frac{i}{2\pi}F_h$ が正の $(1,1)$ 形式になる Hermite 計量をもつ直線束を正の直線束といいます。コンパクト Kähler 多様体では、これは $c_1(L)$ が Kähler 形式で代表されることと同値です（命題 2.2）。
• Kähler 多様体上の Hermite 正則ベクトル束について Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式 $\Delta_{\bar\partial}=\Delta_{\partial}+[iF,\Lambda]$ が成り立ちます（定理 3.4）。調和形式に適用すると、正の直線束 $L$ について $p+q\gt n$ のとき $H^q(X,\Omega^p\otimes L)=0$ です（Kodaira–Nakano の消滅定理、定理 4.1）。
• 消滅定理から、正の直線束の高い冪をかけた任意のベクトル束の高次コホモロジーの消滅（系 4.2）と、超平面切断についての弱 Lefschetz 定理（系 4.4）が従います。
• 1 点の爆発 $\sigma\colon\tilde X\to X$ は点 $x$ を射影空間 $E\cong\mathbb{P}^{n-1}$ に置き換えます。$\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$、$K_{\tilde X}\cong\sigma^*K_X\otimes\mathcal{O}((n-1)E)$ で、$L$ が正なら $\sigma^*L^k\otimes\mathcal{O}(-mE)$ は $k$ が大きいとき正です（定理 5.1、補題 5.2）。
• 「切断が点 $x$ での値と 1 階の微分を自由に取れる」ことを、爆発の上の $H^1$ の消滅に言い換えて、Kodaira の埋め込み定理を得ます。コンパクト複素多様体が射影空間に埋め込めることと、整係数の類を代表する Kähler 形式をもつこと（Hodge 多様体であること）は同値です（定理 6.4）。
• コンパクト Riemann 面はすべて射影的で（系 7.1）、複素トーラスが射影的であることは Riemann 形式の存在と同値です。一般の 2 次元複素トーラスは射影的ではありません（系 7.3）。

この記事で使う事前知識

• Chern 接続と曲率: Hermite 計量をもつ正則ベクトル束に自然に決まる接続と、その曲率のこと。→ Hermite 計量・接続・曲率
• Kähler 恒等式: Kähler 多様体で、$\partial$、$\bar\partial$ とその随伴作用素 $\Lambda$ の交換子を結ぶ関係式。→ Kähler 多様体
• Dolbeault コホモロジー: $\bar\partial$ に関する閉形式を完全形式で割った空間で、層コホモロジーと同型になるもの。→ Dolbeault コホモロジー
• Hodge の調和理論と Serre 双対: コホモロジー類を調和形式で代表する理論と、$H^q$ と $H^{n-q}$ を対にする双対性。→ Hodge 分解と Lefschetz 分解
• 標準束 $K_X$: 正則な $n$ 形式のなす直線束のこと。→ 正則接束・標準束・法束
• 因子と直線束: 余次元 1 の部分多様体に直線束 $\mathcal{O}(Y)$ を対応させる見方。→ 因子

1. 動機

コンパクト複素多様体 $X$ は、いつ射影空間 $\mathbb{P}^N$ の閉じた複素部分多様体として実現できるでしょうか。実現できれば、$X$ は斉次多項式の共通零点として書け（Chow の定理、射影空間の閉じた複素部分多様体は多項式で定まるという定理。注意 7.8）、代数幾何の方法がすべて使えます。

必要条件はすぐ分かります。$X\subset\mathbb{P}^N$ なら、Fubini–Study 形式 $\omega_{FS}$（射影空間の標準的な Kähler 形式）の制限は $X$ の Kähler 形式で、その類は超平面束 $\mathcal{O}(1)|_X$ の第一 Chern 類なので、整係数コホモロジーから来ます。つまり $X$ は「Kähler で、Kähler 類を整係数の類に取れる」多様体です。Kodaira の埋め込み定理は、この必要条件が十分でもあることを主張します。複素構造と Kähler 類という微分幾何の情報だけから、多項式で定義されることが結論されるわけです。

射影空間への写像は、直線束 $L$ の切断の組 $s_0,\dots,s_N$ から $x\mapsto[s_0(x):\dots:s_N(x)]$ として作ります。これが埋め込みになるには、切断が十分たくさん必要です。点 $x$ で消えない切断があること、2 点 $x\ne y$ を区別する切断があること、各点で接ベクトルを区別できること、の三つです。どれも「ある部分多様体への制限写像 $H^0(X,L)\to H^0(Z,L|_Z)$ が全射か」という問いで、層の完全列 $0\to L\otimes\mathcal{I}_Z\to L\to L|_Z\to0$ の長完全列により、$H^1(X,L\otimes\mathcal{I}_Z)=0$ から従います。

そこで二つの道具が要ります。一つは $H^1$ を消す定理です。Bochner の方法（調和形式に Weitzenböck 型の公式を適用し、曲率の符号から消滅を導く。系 5.4［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）を $\bar\partial$ の Laplacian に使うと、曲率が正の直線束について消滅定理が得られます。もう一つは、点 $Z=\lbrace x\rbrace$ のイデアル層 $\mathcal{I}_x$（$x$ で $0$ になる関数のなす層）が直線束でないことへの対処です（$n\ge2$）。点を爆発させて余次元 1 の部分多様体 $E$ に取り替えれば、$\mathcal{I}_x$ の役割を直線束 $\mathcal{O}(-E)$ が果たし、消滅定理が使えるようになります。

2. 正の直線束

実の $(1,1)$ 形式 $\alpha$ が正であるとは、すべての $0$ でない実接ベクトル $v$ について $\alpha(v,Jv)\gt0$ となることをいいます。正則座標で $\alpha=\frac i2\sum_{j,k}a_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ と書けば、Hermite 行列 $(a_{j\bar k})$ が各点で正定値であることと同じです。正の $(1,1)$ 形式は Hermite 計量の基本形式と一対一に対応し（補題 2.1［Kähler 多様体］）、閉じた正の $(1,1)$ 形式が Kähler 形式です。すべての $v$ で $\alpha(v,Jv)\ge0$ のとき $\alpha$ は半正であるといい、$\alpha\ge0$ と書きます。$\alpha-\beta\ge0$ を $\alpha\ge\beta$ と書きます。正則写像 $f$ について $(f^*\alpha)(v,Jv)=\alpha(df\,v,J\,df\,v)$ なので、半正な形式の引き戻しは半正です。

定義 2.1（正の直線束・Hodge 多様体）↗

1. 複素多様体 $X$ 上の正則直線束 $L$ が正であるとは、第一 Chern 形式 $c_1(L,h)=\frac{i}{2\pi}F_h$ が正の $(1,1)$ 形式になる Hermite 計量 $h$ が存在することをいう。$L^*$ が正のとき $L$ は負であるという。
2. コンパクト複素多様体 $X$ が Hodge 多様体であるとは、Kähler 形式 $\omega$ で、その類 $[\omega]\in H^2(X,\mathbb{R})$ が $H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathbb{R})$ の像に入るものが存在することをいう。

正の直線束 $(L,h)$ があれば、$c_1(L,h)$ は Kähler 形式なので $X$ は Kähler 多様体です。$L$、$L'$ が正なら $L\otimes L'$ も正、$L$ が正なら $k\ge1$ について $L^k$ も正で、逆に $L^k$ が正なら $L$ も正です（計量 $h$ の $k$ 乗根を取れば $c_1$ は $1/k$ 倍になる。定理 4.5［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。$\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(1)$ は Fubini–Study 計量により正です（$c_1(\mathcal{O}(1),h_{FS})=\omega_{FS}$。定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］、命題 4.1［Kähler 多様体］）。正の直線束の複素部分多様体への制限は正です。

命題 2.2（正の直線束と Kähler 類）✓

$X$ をコンパクト Kähler 多様体、$L$ を正則直線束とする。

1. $L$ が正であることと、$c_1(L)\in H^2(X,\mathbb{R})$ を代表する Kähler 形式が存在することは同値である。より詳しく、$c_1(L)$ を代表する任意の閉じた実 $(1,1)$ 形式 $\omega$ に対し、$c_1(L,h)=\omega$ となる Hermite 計量 $h$ がある。
2. コンパクト複素多様体 $X$ が Hodge 多様体であることと、$X$ が正の直線束をもつことは同値である。

証明（命題 2.2）

1。 $L$ が正なら $c_1(L,h)$ が求める Kähler 形式です。逆を示します。$\omega$ を $c_1(L)$ を代表する閉じた実 $(1,1)$ 形式、$h_0$ を $L$ の Hermite 計量とします。$\eta=\omega-c_1(L,h_0)$ は $d$ 完全な実 $(1,1)$ 形式なので、$\partial\bar\partial$ 補題（補題 5.2［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）から $\eta=\partial\bar\partial\gamma$ となる複素数値の関数 $\gamma$ があります。$\eta$ は実なので $\eta=\bar\eta=\bar\partial\partial\bar\gamma=-\partial\bar\partial\bar\gamma$ で、二つの式の平均を取ると $\eta=\frac12\partial\bar\partial(\gamma-\bar\gamma)=i\partial\bar\partial\varphi$、$\varphi=\operatorname{Im}\gamma$ です。$h=e^{-2\pi\varphi}h_0$ とおくと、正則枠 $e$ について $\log h(e,e)=\log h_0(e,e)-2\pi\varphi$ なので

$$c_1(L,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log h(e,e)=c_1(L,h_0)+i\partial\bar\partial\varphi=\omega$$

です（命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。$\omega$ が Kähler 形式なら $L$ は正です。

2。 $L$ が正なら $\omega=c_1(L,h)$ は Kähler 形式で、その類は整係数の類 $c_1(L)\in H^2(X,\mathbb{Z})$ の像です（定理 7.2［層コホモロジーと直線束］、定義 7.3［層コホモロジーと直線束］）。逆に $X$ を Hodge 多様体、$\omega$ をその Kähler 形式、$a\in H^2(X,\mathbb{Z})$ を $[\omega]$ に写る類とします。$a$ の $H^2(X,\mathbb{C})$ での像は $d$ 閉な $(1,1)$ 形式 $\omega$ で代表されるので $(1,1)$ 型で、Lefschetz の $(1,1)$ 定理（定理 8.2［層コホモロジーと直線束］）から $a=c_1(L)$ となる正則直線束 $L$ があります。$c_1(L)$ は $\omega$ で代表されるので、1 から $L$ は正です。

∎

3. Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式

3.1. Chern 接続の $(1,0)$ 成分とその随伴

$(X,g)$ を Hermite 多様体、$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束、$\nabla$ を Chern 接続とします（定理 4.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。$\nabla$ を $E$ 係数の形式に $\nabla(\alpha\otimes s)=d\alpha\otimes s+(-1)^k\alpha\wedge\nabla s$（$\alpha$ は $k$ 形式）で延ばし、型に分けて

$$\nabla=D'+D'',\qquad D'\colon A^{p,q}(E)\to A^{p+1,q}(E),\qquad D''=\bar\partial_E\colon A^{p,q}(E)\to A^{p,q+1}(E)$$

と書きます。正則枠 $\sigma_1,\dots,\sigma_r$ と計量の行列 $H$ について、接続形式は $A=H^{-1}\partial H$ で、$\psi=\sum_a\psi^a\otimes\sigma_a$ の成分で書けば

$$D''\psi=\sum_a\bar\partial\psi^a\otimes\sigma_a,\qquad D'\psi=\sum_a\Bigl(\partial\psi^a+\sum_bA^a{}_b\wedge\psi^b\Bigr)\otimes\sigma_a$$

です。$\nabla\nabla\psi=F\wedge\psi$（$F=dA+A\wedge A$ は曲率で、$\operatorname{End}(E)$ 値の $(1,1)$ 形式。命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）を型に分けると

$$D'D'=0,\qquad D''D''=0,\qquad D'D''+D''D'=F$$

です（右辺は $F$ をウェッジ積で掛ける作用素）。$L=\omega\wedge$ とその随伴 $\Lambda$ は形式の部分に作用させます。

この節の目標は、$\bar\partial$ の Laplacian $\Delta''$ を、$D'$ の Laplacian $\Delta'$ と曲率の項に分ける恒等式を示すことです。以下の二つの補題はその下ごしらえで、スカラー値の形式について知られている Kähler 恒等式を、ベクトル束に値をもつ形式へ言い換えるために使います。

補題 3.1（正規な正則枠）✓

$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束、$x\in X$ とする。$x$ の近傍の正則枠 $\sigma_1,\dots,\sigma_r$ で、$H(x)=I$ かつ $dH(x)=0$ となるものがある。このとき $A(x)=0$ である。

証明（補題 3.1）

$x$ を原点とする正則座標 $z$ と正則枠 $e$ を取ります。定数行列による枠の取り替えで $H(0)=I$ とできます。$H$ は Hermite 行列値なので、Taylor 展開は $H=I+\sum_j(B_jz_j+B_j^*\bar z_j)+O(|z|^2)$ の形です。$g=I-\sum_jB_jz_j$ は原点の近くで可逆な正則行列値関数で、枠 $\sigma=e\,g$ についての計量の行列は

$$g^*Hg=\Bigl(I-\sum_jB_j^*\bar z_j\Bigr)\Bigl(I+\sum_j(B_jz_j+B_j^*\bar z_j)\Bigr)\Bigl(I-\sum_jB_jz_j\Bigr)+O(|z|^2)=I+O(|z|^2)$$

です。$A=H^{-1}\partial H$ は原点で $0$ です。

∎

次の補題は、$D'$ と $D''$ に随伴な作用素が存在することを示します。随伴は積分で定義されるので、まず一つの枠をもつ小さな開集合の上で成分ごとに作り、一意性を使って貼り合わせます。証明の添字の多い計算は、この局所的な構成を書き下したものです。

補題 3.2（D′ と D″ の形式的随伴）✓

$(X,g)$ を Hermite 多様体、$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束とする。

1. 微分作用素 $D'^*\colon A^{p,q}(E)\to A^{p-1,q}(E)$ と $D''^*\colon A^{p,q}(E)\to A^{p,q-1}(E)$ で、$\varphi$ と $\psi$ の少なくとも一方の台がコンパクトなら

$$(D'\varphi,\psi)=(\varphi,D'^*\psi),\qquad(D''\varphi,\psi)=(\varphi,D''^*\psi)$$

となるものがただ一つずつ存在する。$X$ がコンパクトなら $D''^*$ は 命題 2.3［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の $\bar\partial_E^*$ である。 2. $x$ で正規な正則枠 $\sigma_a$（補題 3.1）について、点 $x$ で

$$(D'\psi)(x)=\sum_a\partial\psi^a(x)\,\sigma_a,\qquad(D'^*\psi)(x)=\sum_a(\partial^*\psi^a)(x)\,\sigma_a,\qquad(D''^*\psi)(x)=\sum_a(\bar\partial^*\psi^a)(x)\,\sigma_a .$$

証明（補題 3.2）

スカラーの形式については、$\partial^*$、$\bar\partial^*$ が台がコンパクトな形式について $\partial$、$\bar\partial$ の随伴です（補題 6.2［Kähler 多様体］ の 2）。関数 $f$ について、$(\partial^*(f\psi),\varphi)=(\psi,\bar f\partial\varphi)=(\psi,\partial(\bar f\varphi)-\partial\bar f\wedge\varphi)$ から

$$\partial^*(f\psi)=f\,\partial^*\psi-\varepsilon(\partial\bar f)^*\psi,\qquad\bar\partial^*(f\psi)=f\,\bar\partial^*\psi-\varepsilon(\bar\partial\bar f)^*\psi$$

です（$\varepsilon(\eta)$ は $\eta$ を左から掛ける作用素、$^*$ は各点での随伴。2 番目も同様）。

局所的な構成。 正則枠 $\sigma_a$ をもつ開集合 $U$ の上で考えます。$h(\sigma_a,\sigma_b)=H_{ba}$ なので、$\varphi=\sum\varphi^a\otimes\sigma_a$、$\chi=\sum\chi^b\otimes\sigma_b$ について $\langle\varphi,\chi\rangle=\sum_{a,b}\langle\varphi^a,\chi^b\rangle H_{ba}=\sum_{a,b}\langle\varphi^a,H_{ab}\chi^b\rangle$ です（$\overline{H_{ba}}=H_{ab}$）。$\varphi$ の台が $U$ の中でコンパクトなとき、$D'\varphi$ の成分の式とスカラーの随伴から

$$(D'\varphi,\psi)=\sum_{a,b}\Bigl(\partial\varphi^a+\sum_cA^a{}_c\wedge\varphi^c,\ H_{ab}\psi^b\Bigr)=\sum_a\Bigl(\varphi^a,\ \sum_b\partial^*(H_{ab}\psi^b)+\sum_{b,c}\varepsilon(A^c{}_a)^*(H_{cb}\psi^b)\Bigr)$$

です。そこで $\chi=T'\psi$ を

$$\sum_bH_{ab}\chi^b=\sum_b\partial^*(H_{ab}\psi^b)+\sum_{b,c}\varepsilon(A^c{}_a)^*(H_{cb}\psi^b)\qquad(a=1,\dots,r)$$

で定めると（$H$ は可逆）、$T'$ は $U$ 上の微分作用素で $(D'\varphi,\psi)=(\varphi,T'\psi)$ です。同様に $\sum_bH_{ab}\chi^b=\sum_b\bar\partial^*(H_{ab}\psi^b)$ で定めた $T''$ は $(D''\varphi,\psi)=(\varphi,T''\psi)$ をみたします。

貼り合わせと一意性。 台がコンパクトなすべての $\varphi$ について $(\varphi,\chi_1)=(\varphi,\chi_2)$ なら $\chi_1=\chi_2$ です（$\varphi$ として $\chi_1-\chi_2$ に台の小さい関数を掛けたものを取る）。よって枠を取り替えても $T'$、$T''$ は変わらず、$X$ 上の微分作用素 $D'^*$、$D''^*$ が定まり、一意です。$\varphi$ の台がコンパクトなら、1 の分割 $\varphi=\sum_i\rho_i\varphi$（有限和）で枠をもつ開集合に台をもつ場合に帰着して $(D'\varphi,\psi)=(\varphi,D'^*\psi)$ です。$\psi$ の台がコンパクトなら、$\operatorname{supp}\psi$ の近傍で $1$ になる台がコンパクトな関数を $\varphi$ に掛けても両辺は変わらないので、同じ式が成り立ちます。$X$ がコンパクトなとき、$\bar\partial_E^*$ も同じ随伴の式をみたすので $D''^*=\bar\partial_E^*$ です。

2。 正規な枠では $x$ で $H=I$、$dH=0$、$A=0$ なので、$D'\psi$ の式の第 2 項は $x$ で $0$ です。$T'$ の定義式の右辺は、最初の積の公式から $x$ で $\sum_b\bigl(H_{ab}\partial^*\psi^b-\varepsilon(\partial\overline{H_{ab}})^*\psi^b\bigr)(x)+0=\partial^*\psi^a(x)$、左辺は $\chi^a(x)$ です。$T''$ についても同じです。

∎

3.2. Nakano の恒等式と Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式

補題 3.3（Nakano の恒等式）✓

$(X,g)$ を Kähler 多様体、$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束とする。$E$ 係数の形式の上で

$$[\Lambda,D'']=-i\,D'^*,\qquad[\Lambda,D']=i\,D''^* .$$

証明（補題 3.3）

点 $x$ を取り、$x$ で正規な正則枠 $\sigma_a$ を使います。$\Lambda$ は形式の部分に各点で作用するので、成分ごとに $\Lambda\psi=\sum_a\Lambda\psi^a\otimes\sigma_a$ です。$D''\psi=\sum_a\bar\partial\psi^a\otimes\sigma_a$ なので、枠の定義域全体で、スカラーの Kähler 恒等式（定理 6.3［Kähler 多様体］）から

$$[\Lambda,D'']\psi=\sum_a[\Lambda,\bar\partial]\psi^a\otimes\sigma_a=-i\sum_a\partial^*\psi^a\otimes\sigma_a$$

で、点 $x$ での値は 補題 3.2 の 2 から $-i(D'^*\psi)(x)$ です。また

$$[\Lambda,D']\psi=\sum_a\Bigl([\Lambda,\partial]\psi^a+\sum_b[\Lambda,\varepsilon(A^a{}_b)]\psi^b\Bigr)\otimes\sigma_a$$

で、$[\Lambda,\varepsilon(A^a{}_b)]$ は $A^a{}_b$ の各点の値について線形な作用素なので $x$ で $0$ です。$[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^*$ と 補題 3.2 の 2 から、$x$ での値は $i\sum_a(\bar\partial^*\psi^a)(x)\sigma_a=i(D''^*\psi)(x)$ です。$x$ は任意なので、二つの等式が $X$ 全体で成り立ちます。

∎

$\Delta''=D''D''^*+D''^*D''$（$=\Delta_{\bar\partial_E}$）、$\Delta'=D'D'^*+D'^*D'$ とおきます。

次の定理は、この節の目的地です。右辺の $\Delta'$ は $(\Delta'\psi,\psi)\ge0$ をみたすので、調和形式 $\psi$ では曲率の項 $([iF,\Lambda]\psi,\psi)$ が $0$ 以下でなければなりません。曲率が正のとき、この項が正になる次数で $\psi=0$ となり、消滅定理につながります。

定理 3.4（Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式）✓

$(X,g)$ を Kähler 多様体、$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束、$F$ を Chern 接続の曲率とする。$A^{p,q}(E)$ の上で

$$\Delta''=\Delta'+[iF,\Lambda]$$

が成り立つ。$X$ がコンパクトなら、$\psi\in A^{p,q}(E)$ について

$$(\Delta''\psi,\psi)=\|D'\psi\|^2+\|D'^*\psi\|^2+([iF,\Lambda]\psi,\psi)\ \ge\ ([iF,\Lambda]\psi,\psi).$$

証明（定理 3.4）

補題 3.3 から $D''^*=-i[\Lambda,D']$、$D'^*=i[\Lambda,D'']$ です。代入して

$$\begin{aligned} \Delta''&=-i\bigl(D''[\Lambda,D']+[\Lambda,D']D''\bigr)=-i\bigl(D''\Lambda D'-D''D'\Lambda+\Lambda D'D''-D'\Lambda D''\bigr),\\ \Delta'&=i\bigl(D'[\Lambda,D'']+[\Lambda,D'']D'\bigr)=i\bigl(D'\Lambda D''-D'D''\Lambda+\Lambda D''D'-D''\Lambda D'\bigr) \end{aligned}$$

です。差を取ると $D''\Lambda D'$ と $D'\Lambda D''$ の項が打ち消し合い、$D'D''+D''D'=F$ から

$$\Delta''-\Delta'=-i\bigl(\Lambda(D'D''+D''D')-(D'D''+D''D')\Lambda\bigr)=-i[\Lambda,F]=[iF,\Lambda]$$

です。$X$ がコンパクトなら 補題 3.2 の 1 から $(\Delta'\psi,\psi)=\|D'^*\psi\|^2+\|D'\psi\|^2\ge0$ です。

∎

Riemann 幾何の Weitzenböck 公式 $D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$ が「二つの非負な 2 階作用素の差は曲率の項」という形だったのと同じく、この恒等式も $\Delta''$ と $\Delta'$ の差を 0 階の曲率項で表します。調和形式 $\psi$（$\Delta''\psi=0$）に使えば、曲率項 $([iF,\Lambda]\psi,\psi)$ が正になる状況では $\psi=0$ が従います。

4. 消滅定理

4.1. Kodaira–Nakano の消滅定理

定理 4.1（Kodaira–Nakano の消滅定理）✓

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、$L$ を正の直線束とする。

1. $p+q\gt n$ なら $H^q(X,\Omega^p(L))=0$。
2. $p+q\lt n$ なら $H^q(X,\Omega^p(L^{-1}))=0$。
3. （Kodaira の消滅定理）$q\gt0$ なら $H^q(X,\mathcal{O}(K_X\otimes L))=0$、$q\lt n$ なら $H^q(X,\mathcal{O}(L^{-1}))=0$。

証明（定理 4.1）

1。 $c_1(L,h)=\frac{i}{2\pi}F_h$ が正になる計量 $h$ を取り、$\omega=c_1(L,h)$ を基本形式とする Kähler 計量を $X$ に入れます。直線束では $\operatorname{End}(L)$ は自明で、$F_h$ はスカラーの 2 形式 $-2\pi i\,\omega$ です。よって $iF_h=2\pi\omega$ を掛ける作用素は $2\pi L$ で、$A^{p,q}(L)$ の上で

$$[iF_h,\Lambda]=2\pi[L,\Lambda]=2\pi H=2\pi(p+q-n)$$

です（補題 5.3［Kähler 多様体］ の 3）。$\psi\in\mathcal{H}^{p,q}(X,L)$ を調和形式とすると、定理 3.4 から

$$0=(\Delta''\psi,\psi)\ge2\pi(p+q-n)\|\psi\|^2$$

で、$p+q\gt n$ なら $\psi=0$ です。Dolbeault の定理と $\bar\partial$ の Hodge 定理から $H^q(X,\Omega^p(L))\cong H^{p,q}(X,L)\cong\mathcal{H}^{p,q}(X,L)=0$ です（定理 5.1［層コホモロジーと直線束］、定理 3.4［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）。

2。 Serre 双対（系 5.2［層コホモロジーと直線束］）から $H^q(X,\Omega^p(L^{-1}))\cong H^{n-q}(X,\Omega^{n-p}(L))^*$ で、$(n-p)+(n-q)\gt n$ なので 1 から $0$ です。

3。 1 で $p=n$（$\Omega^n(L)=\mathcal{O}(K_X\otimes L)$）、2 で $p=0$ とした場合です。

∎

証明では計量を自由に選べることを使いました。コホモロジーの次元は計量によらないので、曲率形式そのものを Kähler 形式に取れば、曲率項が次数作用素 $H$ というもっとも簡単な形になります。$\mathbb{P}^n$ と $L=\mathcal{O}(k)$（$k\gt0$）では、1 は Bott の公式の一部 $H^q(\mathbb{P}^n,\Omega^p(k))=0$（$p+q\gt n$）です（例 7.4）。

ベクトル束をねじった場合は、曲率項を評価で抑えます。

系 4.2（高い冪をかけたときの消滅）✓

$X$ をコンパクト複素多様体、$L$ を正の直線束、$E$ を正則ベクトル束とする。整数 $k_0$ があって、$k\ge k_0$、$q\gt0$ なら $H^q(X,\mathcal{O}(E\otimes L^k))=0$ である。

証明（系 4.2）

$n=\dim X$、$W=K_X^{-1}\otimes E$ とおくと $\mathcal{O}(E\otimes L^k)=\Omega^n(W\otimes L^k)$ で、定理 5.1［層コホモロジーと直線束］ と 定理 3.4［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ から $H^q(X,\mathcal{O}(E\otimes L^k))\cong\mathcal{H}^{n,q}(X,W\otimes L^k)$ です。$L$ の計量 $h$ と Kähler 形式 $\omega=c_1(L,h)$ を 定理 4.1 の証明のように取り、$W$ に Hermite 計量 $h_W$ を入れます。$W$ の正則枠 $\sigma_a$ と $L$ の正則枠 $e$ について、$W\otimes L^k$ の正則枠 $\sigma_a\otimes e^k$ に関する計量の行列は $H_Wh(e,e)^k$ なので、曲率は

$$F_{W\otimes L^k}=\bar\partial\bigl(H_W^{-1}\partial H_W+k\,\partial\log h(e,e)\bigr)=F_W+kF_h=F_W-2\pi ik\,\omega$$

です（命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1）。$(n,q)$ 形式の上で $[L,\Lambda]=q$ なので

$$[iF_{W\otimes L^k},\Lambda]=[iF_W,\Lambda]+2\pi kq$$

です。$[iF_W,\Lambda]$ は $\Lambda^{n,q}\otimes W\otimes L^k=(\Lambda^{n,q}\otimes W)\otimes L^k$ の第 1 因子に作用する束写像で、その作用素ノルムは $k$ によりません。$X$ はコンパクトなので、その最大値を $C$ とします。調和形式 $\psi\in\mathcal{H}^{n,q}(X,W\otimes L^k)$ について 定理 3.4 から

$$0=(\Delta''\psi,\psi)\ge(2\pi kq-C)\|\psi\|^2$$

で、$q\ge1$、$k\gt C/2\pi$ なら $\psi=0$ です。$k_0$ を $C/2\pi$ より大きい整数に取ればよいです。

∎

これは、射影スキーム上の連接層についての Serre の消滅定理（Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー）の、局所自由層の場合の解析的な証明になっています。

4.2. 超曲面への制限と弱 Lefschetz 定理

消滅定理は、部分多様体への制限を調べる層の完全列と組み合わせて使います。次の補題は、次節の爆発でも使います。

補題 4.3（非特異な超曲面への制限の完全列）✓

$X$ を複素多様体、$Y\subset X$ を余次元 1 の閉な複素部分多様体、$i\colon Y\to X$ を包含、$W$ を $X$ 上の正則ベクトル束とする。$s_Y$ を、零点集合が $Y$ で $Y$ に沿って 1 位で消える $\mathcal{O}(Y)$ の正則切断とする（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 4）。

1. $X$ 上の層の列

$$0\to\mathcal{O}(W\otimes\mathcal{O}(-Y))\xrightarrow{\ \otimes s_Y\ }\mathcal{O}(W)\xrightarrow{\ \text{制限}\ }i_*\mathcal{O}(W|_Y)\to0$$

は完全である。 2. $Y$ 上の正則ベクトル束 $W'$ と各 $p$ について、$0\to i_*\Omega^p_Y(W')\to i_*\mathcal{A}^{p,\bullet}_Y(W')$ は $X$ 上の細層による分解で、補題 3.3［層コホモロジーと直線束］ は同型 $H^{p,q}(Y,W')\cong H^q(X,i_*\Omega^p_Y(W'))$ を与える。

証明（補題 4.3）

1。 茎で確かめます。$Y$ は閉集合なので、$Y$ の外の点では $i_*\mathcal{O}(W|_Y)$ の茎は $0$ で、$s_Y$ は零点をもたないので最初の射は同型です。$y\in Y$ とし、$y$ のまわりの正則座標 $(z',z_n)$ で $Y=\lbrace z_n=0\rbrace$ となるものと、$W$ の正則枠、$s_Y=z_n\epsilon$ となる $\mathcal{O}(Y)$ の正則枠 $\epsilon$ を取ります（定理 6.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1）。すると最初の射は正則関数のベクトル $f$ を $z_nf$ に写し、単射です。制限は $f\mapsto f(z',0)$ で、$Y$ 上の正則関数 $g(z')$ は $z_n$ によらない関数として近傍に延びるので、茎で全射です。$f(z',0)=0$ なら $f(z',z_n)=z_n\int_0^1\frac{\partial f}{\partial z_n}(z',tz_n)\,dt$ で、積分は正則です（補題 2.4［複素多様体と正則写像］）。よって制限の核は最初の射の像です。

2。 $i_*$ の茎は、$y\in Y$ で元の層の茎、$Y$ の外で $0$ なので、$Y$ 上の Dolbeault 分解（定理 5.1［層コホモロジーと直線束］）の $i_*$ による像は完全です。$i_*\mathcal{A}^{p,q}_Y(W')$ は、$X$ 上の滑らかな関数を $Y$ に制限して掛けることで $\mathcal{A}^0_X$ 加群の層なので細層です（補題 3.2［層コホモロジーと直線束］ の 2）。大域切断の複体は $(A^{p,\bullet}(Y,W'),\bar\partial)$ です。

∎

系 4.4（弱 Lefschetz 定理）✓

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、$L$ を正の直線束、$s\in H^0(X,L)$ を正則切断とし、零点集合 $Y$ の各点で $s$ は局所枠についての成分の微分が $0$ でないとする（$Y$ は非特異な超曲面で $L\cong\mathcal{O}(Y)$）。このとき制限写像

$$H^k(X,\mathbb{C})\to H^k(Y,\mathbb{C})$$

は $k\lt n-1$ で同型、$k=n-1$ で単射である。より詳しく、$H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)$ は $p+q\lt n-1$ で同型、$p+q=n-1$ で単射である。

証明（系 4.4）

仮定から $Y$ は $n-1$ 次元の閉な複素部分多様体で（命題 5.3［複素多様体と正則写像］）、$s$ は $Y$ に沿って 1 位で消えるので $L\cong\mathcal{O}(Y)$ です（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 3）。$X$ と $Y$ はコンパクト Kähler 多様体で、$L|_Y$ は $Y$ 上の正の直線束です。$i\colon Y\to X$ を包含とします。

二つの完全列。 補題 4.3 の 1 を $W=\Omega^p_X$ に使うと

$$0\to\Omega^p_X(L^{-1})\to\Omega^p_X\to i_*\mathcal{O}(\Omega^p_X|_Y)\to0$$

が完全です。これを列 (a) と呼びます。次に $Y$ の上で、正則ベクトル束の列

$$0\to N^*\otimes\Omega^{p-1}_Y\xrightarrow{\ \nu\otimes\beta\mapsto\nu\wedge\tilde\beta\ }\Omega^p_X|_Y\xrightarrow{\ \text{引き戻し}\ }\Omega^p_Y\to0$$

を考えます。$N^*\subset\Omega^1_X|_Y$ は $TY$ の上で $0$ になる 1 形式のなす部分束（余法束）、$\tilde\beta$ は $\beta$ の $\Omega^{p-1}_X|_Y$ への持ち上げです。座標 $(z',z_n)$（$Y=\lbrace z_n=0\rbrace$）では、$\Omega^p_X|_Y$ の枠 $dz_I$ のうち $n\in I$ のものが引き戻しで $0$ になり、残りが $\Omega^p_Y$ の枠に写ります。$N^*$ は $dz_n$ で張られ、$dz_n\wedge dz_n=0$ なので最初の写像は持ち上げによらず、その像は $n\in I$ の $dz_I$ で張られます。よって列は各点で完全で、枠の対応から正則切断の層の列としても完全です。$N^*$ は法束 $N_{Y/X}\cong\mathcal{O}(Y)|_Y\cong L|_Y$ の双対です（定理 6.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。$i_*$ は茎を保つので

$$0\to i_*\Omega^{p-1}_Y(L^{-1}|_Y)\to i_*\mathcal{O}(\Omega^p_X|_Y)\to i_*\Omega^p_Y\to0$$

が完全です（$p=0$ では左の項は $0$）。これを列 (b) と呼びます。

消滅。 定理 4.1 の 2 から、$p+q\lt n$ で $H^q(X,\Omega^p_X(L^{-1}))=0$ です。また 補題 4.3 の 2 と、$Y$ 上の同じ定理から、$(p-1)+q\lt n-1$ で $H^q(X,i_*\Omega^{p-1}_Y(L^{-1}|_Y))\cong H^{p-1,q}(Y,L^{-1}|_Y)=0$ です。(a) の長完全列から、$H^q(X,\Omega^p_X)\to H^q(X,i_*\mathcal{O}(\Omega^p_X|_Y))$ は $p+q+1\lt n$ で同型、$p+q\lt n$ で単射です。(b) の長完全列から、$H^q(X,i_*\mathcal{O}(\Omega^p_X|_Y))\to H^q(X,i_*\Omega^p_Y)$ は $p+q\lt n-1$ で同型、$p+q-1\lt n-1$ で単射です。合成して、形式の引き戻し $r\colon\Omega^p_X\to i_*\Omega^p_Y$ が誘導する

$$H^q(X,\Omega^p_X)\to H^q(X,i_*\Omega^p_Y)$$

は $p+q\lt n-1$ で同型、$p+q=n-1$ で単射です。

Dolbeault コホモロジーへ。 形式の引き戻し $i^*\colon\mathcal{A}^{p,q}_X\to i_*\mathcal{A}^{p,q}_Y$ は $\bar\partial$ と可換で、$r$ の上の分解の射です。補題 3.3［層コホモロジーと直線束］ の 2 から、上の写像は Dolbeault の同型と 補題 4.3 の 2 の同型を通して $i^*\colon H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)$ に対応します。

de Rham コホモロジーへ。 Dolbeault 類 $c\in H^{p,q}(X)$ の $d$ 閉な代表元 $\alpha$ を取ると、$i^*\alpha$ は $i^*c$ の $d$ 閉な代表元です。したがって Hodge 分解の同型 $H^{p,q}\cong K^{p,q}\subset H^{p+q}(\cdot,\mathbb{C})$（定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 3）は制限写像と可換で、$H^k(X,\mathbb{C})\to H^k(Y,\mathbb{C})$ は $H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)$（$p+q=k$）の直和です。

∎

位相的には、$X\setminus Y$ がアフィン多様体で、その実 $2n$ 次元の多様体が $n$ 次元の胞体複体のホモトピー型をもつことからも同じ結論が得られます（Andreotti–Frankel。Morse 理論による証明は Milnor『Morse Theory』の 7 節）。ここでの証明は Hodge 分解と消滅定理だけを使っています。

5. 1 点の爆発

5.1. 構成

$\mathbb{C}^n$ の原点を通る複素直線の全体は $\mathbb{P}^{n-1}$ です。原点の爆発は、原点を「原点を通る直線の方向」の全体 $\mathbb{P}^{n-1}$ に置き換える操作です。$B_r=\lbrace z\in\mathbb{C}^n : |z|\lt r\rbrace$ とし、

$$\tilde B_r=\lbrace(z,[w])\in B_r\times\mathbb{P}^{n-1} : z_iw_j=z_jw_i\ (1\le i,j\le n)\rbrace$$

とおきます。条件は「$z$ が直線 $[w]$ の上にある」ことです。射影を $\sigma\colon\tilde B_r\to B_r$、$\mathrm{pr}\colon\tilde B_r\to\mathbb{P}^{n-1}$ と書きます。$z\ne0$ なら $\sigma^{-1}(z)$ は 1 点 $(z,[z])$ で、$\sigma^{-1}(0)=\lbrace0\rbrace\times\mathbb{P}^{n-1}$ です。

ℂ² の原点の爆発。原点を通る直線は、爆発の上では例外因子 E の相異なる点を通る互いに交わらない曲線に持ち上がる。E の点は原点での方向に対応する。

定理 5.1（1 点の爆発）✓

$X$ を $n$ 次元の複素多様体（$n\ge1$）、$x\in X$ とし、$x$ を中心とする正則チャート $z\colon U\to\mathbb{C}^n$（$z(x)=0$）と、$\overline{B_\varepsilon}\subset z(U)$ となる $\varepsilon\gt0$ を取る。$X\setminus\lbrace x\rbrace$ と $\tilde B_\varepsilon$ を、$p\in z^{-1}(B_\varepsilon)\setminus\lbrace x\rbrace$ と $(z(p),[z(p)])$ を同一視して貼り合わせた空間を $\tilde X$、$\sigma\colon\tilde X\to X$ を $X\setminus\lbrace x\rbrace$ 上の恒等写像と $\tilde B_\varepsilon$ 上の $z^{-1}\circ\sigma$ から定まる写像、$E=\sigma^{-1}(x)$ とする。

1. $\tilde X$ は $n$ 次元の複素多様体、$\sigma$ は正則写像で、$\tilde X\setminus E\to X\setminus\lbrace x\rbrace$ は双正則である。$E$ は余次元 1 の閉な複素部分多様体で、$\mathrm{pr}$ により $\mathbb{P}^{n-1}$ と双正則である。$y\in E$ について $\ker d\sigma_y=T_yE$ である。
2. $X$ がコンパクトなら $\tilde X$ もコンパクトである。
3. $\tilde B_\varepsilon$ の上で $\mathcal{O}(E)\cong\mathrm{pr}^*\mathcal{O}(-1)$。とくに $\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$、$\mathcal{O}(-E)|_E\cong\mathcal{O}(1)$。
4. $K_{\tilde X}\cong\sigma^*K_X\otimes\mathcal{O}((n-1)E)$。

$\tilde X$ を $X$ の $x$ での爆発、$E$ を例外因子という。$n=1$ のときは $\tilde X=X$、$\sigma=\mathrm{id}$、$E=\lbrace x\rbrace$ である。

証明（定理 5.1）

$\mathbb{P}^{n-1}$ の標準的な開集合を $V_j=\lbrace w_j\ne0\rbrace$、$\tilde B_j=\tilde B_\varepsilon\cap(B_\varepsilon\times V_j)$ とします。

1。 $V_j$ の座標を $u_k=w_k/w_j$（$k\ne j$）とすると、$B_\varepsilon\times V_j$ の中で $\tilde B_j$ は方程式 $z_k=z_ju_k$（$k\ne j$）で定義されます（このとき $z_iw_k=z_jw_iw_k/w_j=z_kw_i$ もすべて成り立つ）。これは正則写像 $(z_j,u)\mapsto(z_ju_k)_{k\ne j}$ のグラフなので、$\tilde B_j$ は $n$ 次元の複素部分多様体で、

$$(t,u)\mapsto\bigl(z,[w]\bigr),\qquad z_j=t,\quad z_k=tu_k\ (k\ne j),\quad[w]=[u_1:\dots:\underset{j}{1}:\dots:u_n]$$

がその正則座標です。よって $\tilde B_\varepsilon$ は $B_\varepsilon\times\mathbb{P}^{n-1}$ の閉な複素部分多様体で、$\sigma$ と $\mathrm{pr}$ は正則です。$\sigma\colon\tilde B_\varepsilon\setminus\sigma^{-1}(0)\to B_\varepsilon\setminus\lbrace0\rbrace$ は全単射で、逆写像 $z\mapsto(z,[z])$ は正則なので双正則です。

貼り合わせは開集合の間の双正則写像によるので、$X\setminus\lbrace x\rbrace$ のチャートと $\tilde B_j$ のチャートは $\tilde X$ の正則アトラスをなし、$\sigma$ は正則です。$\tilde X$ は第二可算です。Hausdorff 性：$\sigma(a)\ne\sigma(b)$ なら $X$ の交わらない開近傍の逆像で分離でき、$\sigma(a)=\sigma(b)$、$a\ne b$ なら $a,b\in E$ で、$a,b$ は Hausdorff な開集合 $\tilde B_\varepsilon$ に入ります。

$E=\lbrace0\rbrace\times\mathbb{P}^{n-1}$ は $\tilde B_j$ の座標で $\lbrace t=0\rbrace$ なので、余次元 1 の閉な複素部分多様体で、$\mathrm{pr}|_E$ は双正則です。この座標で $\sigma(t,u)=(tu_1,\dots,t,\dots,tu_n)$ なので、$t=0$ での微分は $(\tau,\dot u)\mapsto(\tau u_1,\dots,\tau,\dots,\tau u_n)$ で、その核は $\lbrace\tau=0\rbrace=T_yE$ です。

2。 $\tilde X$ は、コンパクト集合 $X\setminus z^{-1}(B_{\varepsilon/2})$ と同相な $\sigma^{-1}(X\setminus z^{-1}(B_{\varepsilon/2}))$ と、コンパクト空間 $\overline{B_{\varepsilon/2}}\times\mathbb{P}^{n-1}$ の閉集合 $\sigma^{-1}(z^{-1}(\overline{B_{\varepsilon/2}}))$ の和集合なので、コンパクトです。

3。 $f_j=z_j\circ\sigma$ は $\tilde B_j$ 上の座標関数 $t$ で、$E\cap\tilde B_j=\lbrace f_j=0\rbrace$ の被約な局所定義関数です。したがって因子 $[E]$ は $\lbrace(\tilde B_j,f_j)\rbrace_j$ と $(\tilde X\setminus E,1)$ で与えられ（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 4）、$\mathcal{O}(E)$ の $\tilde B_\varepsilon$ 上の変換関数は

$$g_{jk}=\frac{f_j}{f_k}=\frac{z_j}{z_k}=\frac{w_j}{w_k}\qquad(\tilde B_j\cap\tilde B_k\text{ 上})$$

です（$z$ は直線 $[w]$ の上にあるので、$z\ne0$ で $z_j/z_k=w_j/w_k$ で、右辺は $E$ の上まで正則）。$\mathbb{P}^{n-1}$ 上の $\mathcal{O}(-1)$ の、被覆 $(V_j)$ についての変換関数は $(w_k/w_j)^{-1}=w_j/w_k$ です（定義 5.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。$\tilde B_j=\mathrm{pr}^{-1}(V_j)$ なので、$\mathcal{O}(E)|_{\tilde B_\varepsilon}$ と $\mathrm{pr}^*\mathcal{O}(-1)$ は同じ被覆について同じ変換関数をもち、同型です（補題 2.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。$E$ に制限すると、$\mathrm{pr}|_E$ による同一視 $E\cong\mathbb{P}^{n-1}$ のもとで $\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$ です。

4。 正則 $n$ 形式の引き戻しは、正則な束準同型 $\sigma^*K_X\to K_{\tilde X}$、すなわち直線束 $K_{\tilde X}\otimes\sigma^*K_X^{-1}$ の正則切断 $\tau$ を定めます。$E$ の外では $\sigma$ は双正則なので $\tau$ は零点をもちません。$\tilde B_j$ の座標では $dz_j=dt$、$dz_k=t\,du_k+u_k\,dt$（$k\ne j$）なので

$$\sigma^*(dz_1\wedge\dots\wedge dz_n)=\pm\,t^{n-1}\,dt\wedge\bigwedge_{k\ne j}du_k$$

で、枠 $\sigma^*(dz_1\wedge\dots\wedge dz_n)$ と $dt\wedge\bigwedge du_k$ について $\tau$ の成分は $\pm f_j^{\,n-1}$ です。よって $\operatorname{div}(\tau)=(n-1)[E]$ で、$K_{\tilde X}\otimes\sigma^*K_X^{-1}\cong\mathcal{O}((n-1)E)$ です（定理 6.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 3）。

$n=1$ のとき $\mathbb{P}^0$ は 1 点で、$\tilde B_\varepsilon=B_\varepsilon$ です。

∎

$\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$ は、例外因子の法束が負であることを表します（随伴公式 定理 6.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。曲面では $E\cong\mathbb{P}^1$ の自己交点数が $-1$ です。

5.2. 爆発の上の正の直線束

$\mathcal{O}(-E)$ は $E$ の上では $\mathcal{O}(1)$ で正、$E$ から離れたところでは自明です。$X$ から引き戻した直線束 $\sigma^*L$ は、$E$ に接する方向では曲率が $0$ になります。二つを合わせると正の直線束が作れます。

次の補題は、爆発した空間 $\tilde X$ の上で $\sigma^*L^k\otimes\mathcal{O}(-mE)$ の曲率が正になるように計量を作る、という主張です。$E$ のすぐ近くでは $\mathcal{O}(-E)$ の曲率が $E$ の方向に正、その外側の殻では少し負になりえます。そこで $\sigma^*L^k$ の正の曲率を $k$ 倍にして、負の部分を押さえます。証明は、$E$ の近く、中間の殻、$E$ から遠い所の場合分けです。

補題 5.2（爆発の上の正値性）✓

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、$(L,h)$ を $\omega=c_1(L,h)$ が正である Hermite 正則直線束、$M$ を正則直線束とする。整数 $k_0$ があって、任意の点 $x\in X$ に対し、$x$ での爆発 $\sigma\colon\tilde X\to X$（定理 5.1 の構成で、チャートを適当に選んだもの）を取ると、すべての $k\ge k_0$ と $1\le m\le n+1$ について

$$\sigma^*(L^k\otimes M)\otimes\mathcal{O}(-mE)$$

は $\tilde X$ 上の正の直線束である。とくに $\tilde X$ はコンパクト Kähler 多様体である。

証明（補題 5.2）

一様な設定。 $X$ はコンパクトなので、有限個の正則チャート $(U_a,z^a)$、$X$ を覆うコンパクト集合 $K_a\subset U_a$、$\varepsilon\gt0$ を、すべての $a$ と $y\in K_a$ について $z^a(y)$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の閉球が $z^a(U_a)$ に含まれるように取れます。$Q_a\subset U_a$ を、$z^a(K_a)$ からの距離が $\varepsilon$ 以下の点の逆像（コンパクト）とし、$\beta_a=\frac i2\sum_jdz^a_j\wedge d\bar z^a_j$ とおきます。コンパクト性から、定数 $c\gt0$ と $C_1$ で

$$\omega\ge c\,\beta_a\ \ (Q_a\text{ 上、すべての }a),\qquad\kappa\ge-C_1\omega\ \ (X\text{ 上})$$

となるものがあります。ここで $\kappa=c_1(M,h_M)$ は $M$ に固定した Hermite 計量の第一 Chern 形式です。

滑らかな関数 $\rho\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$r\le\varepsilon/2$ で $\rho(r)=1$、$r\ge3\varepsilon/4$ で $\rho(r)=0$ となるように取り（補題 6.1［部分多様体と正則値定理］）、$\mathbb{C}^n\setminus\lbrace0\rbrace$ 上の実 $(1,1)$ 形式

$$\theta_0=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\Bigl(\rho(|\zeta|)\,|\zeta|^{-2}+1-\rho(|\zeta|)\Bigr)$$

を考えます。$|\zeta|\ge3\varepsilon/4$ で $\theta_0=0$、$0\lt|\zeta|\le\varepsilon/2$ で $\theta_0=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|\zeta|^2$ です。コンパクトな殻 $\lbrace\varepsilon/2\le|\zeta|\le3\varepsilon/4\rbrace$ の上で $\theta_0\ge-C_0\beta_0$（$\beta_0=\frac i2\sum d\zeta_j\wedge d\bar\zeta_j$）となる定数 $C_0$ があります。$C_0$、$c$、$C_1$ は点 $x$ によりません。$k_0$ を $k_0\ge C_1+1+(n+1)C_0/c$ なる整数とします。

$\mathcal{O}(-E)$ の計量。 $x\in K_a$ とし、チャート $z=z^a-z^a(x)$ と上の $\varepsilon$ で爆発 $\tilde X$ を作ります。$\mathcal{O}(E)$ の切断 $s_E$（成分は $\tilde B_j$ 上 $f_j$、$\tilde X\setminus E$ 上 $1$）は $E$ の外で零点をもたないので、$s_E^{-1}$ は $\tilde X\setminus E$ 上の $\mathcal{O}(-E)$ の正則枠です。$\tilde X\setminus E\cong X\setminus\lbrace x\rbrace$ の上で

$$h_E(s_E^{-1},s_E^{-1})=\rho(|z|)\,|z|^{-2}+1-\rho(|z|)$$

（$z$ の定義域の外では $1$）と定めます。定理 5.1 の 3 の同型 $\mathcal{O}(-E)|_{\tilde B_\varepsilon}\cong\mathrm{pr}^*\mathcal{O}(1)$ で $\mathcal{O}(1)$ の $V_j$ 上の正則枠に対応する枠を $e_j^*$ とすると、$s_E^{-1}=f_j^{-1}e_j^*$ で、Fubini–Study 計量の引き戻しについて

$$(\mathrm{pr}^*h_{FS})(s_E^{-1},s_E^{-1})=\frac1{|z_j|^2}\cdot\frac{|w_j|^2}{|w|^2}=\frac1{|z|^2}$$

です（$z=\lambda w$ と書けば確かめられる。定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。よって $h_E$ は $\sigma^{-1}(\lbrace|z|\lt\varepsilon/2\rbrace)\setminus E$ の上で $\mathrm{pr}^*h_{FS}$ に一致し、$E$ の上まで滑らかな Hermite 計量に延びます。$\theta=c_1(\mathcal{O}(-E),h_E)$ とおくと、

• (i) $\sigma^{-1}(\lbrace|z|\lt\varepsilon/2\rbrace)$ の上で $\theta=\mathrm{pr}^*\omega_{FS}$。したがってそこで $\theta\ge0$ で、$y\in E$、$0\ne v\in T_yE$ なら $\theta(v,Jv)=\omega_{FS}(v,Jv)\gt0$。
• (ii) $E$ の外で $\theta=\sigma^*\theta_0(z)$。とくに $\sigma^{-1}(\lbrace|z|\ge3\varepsilon/4\rbrace)$ と $z$ の定義域の外で $\theta=0$。

（$n=1$ のときは $\mathbb{P}^0$ が 1 点なので $\mathrm{pr}^*h_{FS}$ は定数 $1$、$\omega_{FS}=0$ と読みます。$T_yE=0$ なので (i) の後半は空な主張です。）

正値性。 $k\ge k_0$、$1\le m\le n+1$ とし、$\sigma^*(L^k\otimes M)\otimes\mathcal{O}(-mE)$ に計量 $\sigma^*(h^kh_M)\otimes h_E^m$ を入れます。第一 Chern 形式は

$$\Xi=\sigma^*(k\omega+\kappa)+m\theta$$

です（定理 4.5［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。$k\omega+\kappa\ge(k-C_1)\omega$ で、$k-C_1\ge1+(n+1)C_0/c$ です。$0$ でない実接ベクトル $v\in T_y\tilde X$ について $\Xi(v,Jv)\gt0$ を、$y$ の位置で分けて確かめます。

(a) $|z(\sigma(y))|\ge3\varepsilon/4$、または $\sigma(y)$ が $z$ の定義域の外のとき。$\theta=0$ で、$\sigma$ は $y$ の近くで双正則なので $\Xi(v,Jv)\ge\omega(d\sigma v,Jd\sigma v)\gt0$ です。

(b) $\varepsilon/2\le|z(\sigma(y))|\le3\varepsilon/4$ のとき。$\sigma(y)\in Q_a$ で、平行移動した座標 $z$ について $\beta_a=\frac i2\sum dz_j\wedge d\bar z_j$ なので、(ii) から $\theta\ge-C_0\sigma^*\beta_a\ge-(C_0/c)\sigma^*\omega$ です。よって $\Xi\ge\bigl(k-C_1-(n+1)C_0/c\bigr)\sigma^*\omega\ge\sigma^*\omega$ で、$\sigma$ は $y$ の近くで双正則なので $\Xi(v,Jv)\gt0$ です。

(c) $0\lt|z(\sigma(y))|\lt\varepsilon/2$ のとき。(i) から $\theta\ge0$ で、(a) と同じく $\Xi(v,Jv)\ge\omega(d\sigma v,Jd\sigma v)\gt0$ です。

(d) $y\in E$ のとき。$d\sigma_yv\ne0$ なら (i) の $\theta\ge0$ から $\Xi(v,Jv)\ge\omega(d\sigma v,Jd\sigma v)\gt0$ です。$d\sigma_yv=0$ なら $v\in T_yE$ で（定理 5.1 の 1）、$\Xi(v,Jv)=m\,\theta(v,Jv)\gt0$ です。

最後の主張：$M$ を自明束、$m=1$ とすれば $\tilde X$ は正の直線束をもつので、その第一 Chern 形式は Kähler 形式です。$\tilde X$ は 定理 5.1 の 2 からコンパクトです。

∎

とくに、射影多様体の 1 点の爆発は正の直線束をもちます。次節の埋め込み定理により、それはまた射影多様体です。

5.3. 爆発の上の切断

補題 5.3（爆発の上の切断と、点での値・微分）✓

$X$ を $n$ 次元の複素多様体、$L$ を正則直線束、$\sigma\colon\tilde X\to X$ を点 $x$ での爆発、$\tilde L=\sigma^*L$ とする。

1. $\sigma^*\colon H^0(X,L)\to H^0(\tilde X,\tilde L)$ は同型である。
2. $m=1,2$ について、$t\mapsto t\otimes s_E^m$ は $H^0(\tilde X,\tilde L\otimes\mathcal{O}(-mE))$ から、$\tilde L$ の切断で $E$ に沿って $m$ 位以上で消えるもの全体への同型で、後者は 1 により、$x$ で $m$ 位以上で消える $s\in H^0(X,L)$ の全体 $H^0(X,L)_{x,m}$ に対応する。
3. $\tilde L|_E$ は自明束 $E\times L_x$ と同型で $H^0(E,\tilde L|_E)=L_x$、$(\tilde L\otimes\mathcal{O}(-E))|_E\cong L_x\otimes\mathcal{O}(1)$ で $H^0(E,(\tilde L\otimes\mathcal{O}(-E))|_E)=L_x\otimes T_x^*X$ である。これらの同一視のもとで、$E$ への制限は

$$H^0(X,L)\to L_x,\ \ s\mapsto s(x),\qquad H^0(X,L)_{x,1}\to L_x\otimes T_x^*X,\ \ s\mapsto d_xs$$

である。ここで $d_xs$ は、$x$ で消える切断 $s=fe$（$e$ は正則枠）の微分 $df_x\otimes e(x)$ で、枠の取り方によらない。

証明（補題 5.3）

$n=1$ のときは $\sigma=\mathrm{id}$、$E=\lbrace x\rbrace$、$\mathcal{O}(-E)=\mathcal{O}(-x)$ で、主張は $s_E$（$x$ で 1 位の零点をもつ切断）で割る操作を書いたものです。以下 $n\ge2$ とします。$x$ の近傍で $L$ の正則枠 $e$ を取り、爆発を作ったチャート $z$ と $\tilde B_j$ の座標 $(t,u)$ を使います。

1。 $\sigma$ は全射なので $\sigma^*$ は単射です。$\tilde s\in H^0(\tilde X,\tilde L)$ とします。$\tilde X\setminus E\cong X\setminus\lbrace x\rbrace$ により $\tilde s$ は $X\setminus\lbrace x\rbrace$ 上の $L$ の正則切断 $s$ を定め、枠 $e$ についての成分は $x$ の近傍から $x$ を除いた集合の上の正則関数です。$n\ge2$ なので Hartogs の延長定理（定理 7.1［複素多様体と正則写像］ の 3）から成分は $x$ まで正則に延び、$s\in H^0(X,L)$ です。$\sigma^*s$ と $\tilde s$ は稠密な開集合 $\tilde X\setminus E$ の上で一致するので等しくなります。

2。 $\mathcal{O}(-mE)\otimes\mathcal{O}(mE)$ は自明で、$s_E^m$ は $\tilde B_j$ 上で $t^m$ 倍（枠を除いて）、$E$ の外で零点をもちません。よって $t\mapsto t\otimes s_E^m$ は単射で、像は、$\tilde L$ の切断のうち各 $\tilde B_j$ で成分が $t^m$ で割り切れるもの、すなわち $E$ に沿って $m$ 位以上で消えるものです。$s=fe$ について、$\sigma^*s$ の $\tilde B_j$ での成分は $f(tu_1,\dots,t,\dots,tu_n)$ です。$f$ の原点での Taylor 展開を $f=f(0)+\sum_ka_kz_k+O(|z|^2)$ とすると

$$f\circ\sigma=f(0)+t\Bigl(a_j+\sum_{k\ne j}a_ku_k\Bigr)+t^2(\cdots)$$

なので、$t$ で割り切れるのは $f(0)=0$ のとき、$t^2$ で割り切れるのは $f(0)=0$ かつすべての $a_k=0$ のときです（後者では $O(|z|^2)$ の項が $t^2$ で割り切れることを使う）。

3。 $\sigma|_E$ は定値写像なので $\tilde L|_E=(\sigma|_E)^*L$ は自明束 $E\times L_x$ で、$E\cong\mathbb{P}^{n-1}$ はコンパクトで連結なので正則切断は定数です（定理 5.4［複素多様体と正則写像］）。$\sigma^*s$ の $E$ への制限は定数 $s(x)$ です。定理 5.1 の 3 から $(\tilde L\otimes\mathcal{O}(-E))|_E\cong L_x\otimes\mathcal{O}(1)$ で、$H^0(\mathbb{P}^{n-1},\mathcal{O}(1))$ は斉次座標 $w_1,\dots,w_n$ の 1 次式の空間です（定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1。$n=2$ のときも同じ）。$[w]$ は接ベクトル $\sum_kw_k\,\partial/\partial z_k$ の方向なので、1 次式 $\sum_ka_kw_k$ を余接ベクトル $\sum_ka_kdz_k\in T_x^*X$ と同一視します。$f(0)=0$ のとき、$\sigma^*s$ を $s_E$ で割った切断の $\tilde B_j$ での成分は、2 の展開から $E$ の上で

$$a_j+\sum_{k\ne j}a_ku_k=\frac{\sum_ka_kw_k}{w_j}$$

です。これは 1 次式 $\sum_ka_kw_k$ に対応する $\mathcal{O}(1)$ の切断の $V_j$ での成分なので、制限は $s\mapsto\sum_ka_kdz_k\otimes e(x)=d_xs$ です。$f(0)=0$ のとき、枠を $e'=ge$ に替えると $f=gf'$ で $df_x=g(x)df'_x$ なので、$d_xs$ は枠によりません。

∎

6. Kodaira の埋め込み定理

6.1. 直線束の切断が定める写像

$X$ をコンパクト複素多様体、$L$ を正則直線束とします。$H^0(X,L)$ は有限次元です（系 5.2［層コホモロジーと直線束］）。点 $x$ で消える切断のなす部分空間を

$$H_x=\lbrace s\in H^0(X,L) : s(x)=0\rbrace$$

と書きます。

定義 6.1（基点・切断が定める写像・非常に豊富・豊富・射影的）↗

1. すべての $s\in H^0(X,L)$ が $x$ で消えるとき（$H_x=H^0(X,L)$ のとき）、$x$ を $L$ の基点という。
2. $L$ が基点をもたないとき、$H^0(X,L)$ の基底 $s_0,\dots,s_N$ を取り、$x$ の近傍の正則枠 $e$ について $s_i=f_ie$ と書いて

$$\varphi_L\colon X\to\mathbb{P}^N,\qquad\varphi_L(x)=[f_0(x):\dots:f_N(x)]$$

と定める。 3. $L$ が基点をもたず、$\varphi_L$ が単射で、すべての点で微分が単射であるとき、$L$ は非常に豊富であるという。ある $k\ge1$ について $L^k$ が非常に豊富なとき、$L$ は豊富であるという。 4. コンパクト複素多様体 $X$ が、ある $\mathbb{P}^N$ の閉な複素部分多様体と双正則であるとき、$X$ は射影的であるという。

$\varphi_L(x)$ は枠によりません（枠を替えると $f_i$ に共通の $0$ でない因子が掛かる）。基底を取り替えると $\varphi_L$ は $\mathbb{P}^N$ の射影変換との合成に変わるだけなので、3 の条件は基底によりません。

補題 6.2（切断が定める写像の性質）✓

$X$ をコンパクト複素多様体、$L$ を基点をもたない正則直線束とする。

1. $\varphi_L$ は正則写像で、$\varphi_L^*\mathcal{O}(1)\cong L$ である。
2. $\varphi_L(x)=\varphi_L(y)$ と $H_x=H_y$ は同値である。したがって $\varphi_L(x)\ne\varphi_L(y)$ なら、$s(x)=0$ かつ $s(y)\ne0$ となる $s\in H^0(X,L)$ がある。
3. $\varphi_L$ の $x$ での微分が単射であることと、$H_x\to L_x\otimes T_x^*X$、$s\mapsto d_xs$ が全射であることは同値である。

証明（補題 6.2）

1。 $X_i=\lbrace x : s_i(x)\ne0\rbrace=\varphi_L^{-1}(U_i)$ は $X$ を覆い、$X_i$ の上で $\varphi_L$ は $U_i$ の座標で $(f_k/f_i)_{k\ne i}$、これは正則です。$s_i$ は $X_i$ 上の $L$ の正則枠で、$s_k=(s_k/s_i)s_i$ なので、被覆 $(X_i)$ についての $L$ の変換関数は $g_{ik}=s_k/s_i=\varphi_L^*(z_k/z_i)$ です。これは $\varphi_L^*\mathcal{O}(1)$ の変換関数です（定義 5.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。

2。 $s=\sum_ic_is_i$ が $x$ で消えることは $\sum_ic_if_i(x)=0$ と同値なので、$H_x$ は 1 次形式 $c\mapsto\sum_ic_if_i(x)$ の核です。二つの $0$ でない 1 次形式の核が一致することと、係数ベクトル $(f_i(x))$、$(f_i(y))$ が比例することは同値です。$H_x\ne H_y$ なら、どちらも超平面なので $H_x\not\subset H_y$ で、$s\in H_x\setminus H_y$ が取れます。

3。 $x$ は基点でないので $H_x$ は超平面です。基底を、$s_0(x)\ne0$、$s_1,\dots,s_N\in H_x$ となるように取ります（基底の取り替えは微分の単射性を変えない）。$x$ の近傍で $\varphi_L$ は $U_0$ の座標で $(f_1/f_0,\dots,f_N/f_0)$ で、$f_i(x)=0$（$i\ge1$）から $d(f_i/f_0)_x=df_i(x)/f_0(x)$ です。正則写像の微分は複素線形なので（補題 2.2［複素多様体と正則写像］）、単射性は「$df_1(x),\dots,df_N(x)$ の共通の核が $0$」、すなわちこれらが $T_x^*X$ を張ることと同値です。$d_xs_i=df_i(x)\otimes e(x)$ で、$s_1,\dots,s_N$ は $H_x$ の基底なので、これは $s\mapsto d_xs$ の全射性です。

∎

補題 6.3（単射なはめ込みは閉埋め込み）✓

$X$ をコンパクト複素多様体、$Y$ を複素多様体、$\varphi\colon X\to Y$ を単射な正則写像で、すべての点で微分が単射であるものとする。このとき $\varphi(X)$ は $Y$ の閉な複素部分多様体で、$\varphi\colon X\to\varphi(X)$ は双正則である。

証明（補題 6.3）

$X$ はコンパクトで $Y$ は Hausdorff なので、$\varphi(X)$ は閉集合で、$\varphi\colon X\to\varphi(X)$ は同相です（系 6.5［コンパクト性］）。$x\in X$、$n=\dim X$、$N=\dim Y$ とし、$x$ と $\varphi(x)$ のまわりの正則チャートで $\varphi$ を $\mathbb{C}^n$ の開集合から $\mathbb{C}^N$ への正則写像 $F$ とみなします。$J_F(x)$ の階数は $n$ なので、$\mathbb{C}^N$ の座標を並べ替えて $F=(F',F'')$、$\det J_{F'}(x)\ne0$ とできます。逆関数定理（定理 3.1［複素多様体と正則写像］ の 2）から、$F'$ は $x$ の開近傍 $U'$ から開集合 $W'$ への双正則写像で、その逆を $G$ とします。$\Psi(w',w'')=(w',w''-F''(G(w')))$ は $W'\times\mathbb{C}^{N-n}$ 上の双正則写像（逆は $(w',w'')\mapsto(w',w''+F''(G(w')))$）で、$\Psi(F(p))=(F'(p),0)$（$p\in U'$）です。$\varphi$ は像への同相なので $\varphi(U')$ は $\varphi(X)$ の開集合で、$\varphi(x)$ の開近傍 $V$ で $\varphi(X)\cap V=\varphi(U')\cap V$ となるものがあります。よって $V$ を小さく取れば、チャート $\Psi$ で $\varphi(X)\cap V$ は $\lbrace w''=0\rbrace$ と書け、$\varphi(X)$ は複素部分多様体です（定義 5.1［複素多様体と正則写像］）。このチャートで $\varphi^{-1}$ は $(w',0)\mapsto G(w')$ なので正則です。

∎

6.2. 埋め込み定理

定理 6.4（Kodaira の埋め込み定理）✓

$X$ をコンパクト複素多様体、$L$ を正の直線束とする。整数 $k_1$ があって、$k\ge k_1$ なら $L^k$ は非常に豊富である。すなわち $L^k$ は基点をもたず、$\varphi_{L^k}\colon X\to\mathbb{P}^{N_k}$ は $X$ から $\mathbb{P}^{N_k}$ の閉な複素部分多様体への双正則写像である。

したがって、コンパクト複素多様体 $X$ について次は同値である。

1. $X$ は射影的である。
2. $X$ は Hodge 多様体である。
3. $X$ は正の直線束をもつ。

また、正則直線束 $L$ が正であることと豊富であることは同値である。

証明の方針を先に述べます。切断の組が埋め込みを与える条件は、各点での値と 1 階の微分を切断が自由に取れること（補題 6.2 の 3）でした。爆発 $\tilde X$ の上では、これが $H^1$ の消滅から従います。ステップ 0 で消滅を示し、ステップ 1・2 で値と微分、ステップ 3 で 2 点の分離、ステップ 4 で点によらない冪の取り方を扱います。

証明（定理 6.4）

$n=\dim X$ とします。補題 5.2 を $M=K_X^{-1}$ と自明束 $M=\mathcal{O}$ に使い、どちらについても成り立つ $k_0$ を取ります。点 $x\in X$ に対し、同補題の爆発 $\sigma\colon\tilde X\to X$ を取り、$\tilde L=\sigma^*L$、$i\colon E\to\tilde X$ を包含とします。

ステップ 0（$H^1$ の消滅）。 $k\ge k_0$、$m=1,2$ とします。定理 5.1 の 4 から

$$\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-mE)=K_{\tilde X}\otimes P,\qquad P=\sigma^*(L^k\otimes K_X^{-1})\otimes\mathcal{O}(-(m+n-1)E)$$

で、$1\le m+n-1\le n+1$ なので $P$ は正です。$\tilde X$ はコンパクトなので、Kodaira の消滅定理（定理 4.1 の 3）から

$$H^1\bigl(\tilde X,\mathcal{O}(\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-mE))\bigr)=0\qquad(m=1,2).$$

ステップ 1（点での値）。 $k\ge k_0$ とします。補題 4.3 の 1（$Y=E$、$W=\tilde L^k$）の完全列

$$0\to\mathcal{O}(\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E))\to\mathcal{O}(\tilde L^k)\to i_*\mathcal{O}(\tilde L^k|_E)\to0$$

の長完全列とステップ 0（$m=1$）から、$H^0(\tilde X,\tilde L^k)\to H^0(E,\tilde L^k|_E)$ は全射です。補題 5.3 の 1・3 から、これは $H^0(X,L^k)\to L^k_x$、$s\mapsto s(x)$ です。よって $x$ は $L^k$ の基点ではありません。$x$ は任意で $k_0$ は $x$ によらないので、$k\ge k_0$ なら $L^k$ は基点をもたず、$\varphi_k=\varphi_{L^k}$ が定まります。

ステップ 2（点での微分）。 $k\ge k_0$ とします。補題 4.3 の 1（$W=\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E)$）の完全列

$$0\to\mathcal{O}(\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-2E))\to\mathcal{O}(\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E))\to i_*\mathcal{O}\bigl((\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E))|_E\bigr)\to0$$

とステップ 0（$m=2$）から、$H^0(\tilde X,\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E))\to H^0(E,(\tilde L^k\otimes\mathcal{O}(-E))|_E)$ は全射です。補題 5.3 の 2・3 から、これは $H_x\to L^k_x\otimes T_x^*X$、$s\mapsto d_xs$ で、補題 6.2 の 3 から $\varphi_k$ の $x$ での微分は単射です。

ステップ 3（2 点を分ける冪が一つある）。 $x\ne y$ とします。補題 5.2（$M=\mathcal{O}$、$m=1$）から $N=\sigma^*L^{k_0}\otimes\mathcal{O}(-E)$ は、コンパクト複素多様体 $\tilde X$ 上の正の直線束です。ステップ 0・1 を $(\tilde X,N)$ と点 $\tilde y=\sigma^{-1}(y)$ に使うと、ある $j\ge1$ について $H^0(\tilde X,N^j)\to N^j_{\tilde y}$ は全射で、$t(\tilde y)\ne0$ となる $t\in H^0(\tilde X,\sigma^*L^{k_0j}\otimes\mathcal{O}(-jE))$ があります。$t\otimes s_E^j$ は $\sigma^*L^{k_0j}$ の正則切断なので、補題 5.3 の 1 から $\sigma^*s$（$s\in H^0(X,L^{k_0j})$）と書けます。$s_E$ は $E$ の上で消え、$\tilde y$ で消えないので、$s(x)=0$、$s(y)\ne0$ です。$k(x,y)=k_0j\ge k_0$ とおくと、補題 6.2 の 2 から $\varphi_{k(x,y)}(x)\ne\varphi_{k(x,y)}(y)$ です。

ステップ 4（大きいすべての冪での単射性）。 各 $x\in X$ について、$\varphi_{k_0}$ は $x$ で微分が単射なので、$x$ の開近傍 $U_x$ の上で単射です（定理 3.3［部分多様体と正則値定理］）。各組 $x\ne y$ について、$\varphi_{k(x,y)}$ は連続で $\mathbb{P}^N$ は Hausdorff なので、$X\times X$ での $(x,y)$ の開近傍 $O_{xy}$ で、$(x',y')\in O_{xy}$ なら $\varphi_{k(x,y)}(x')\ne\varphi_{k(x,y)}(y')$ となるものがあります。$X\times X$ はコンパクトで、$U_x\times U_x$ と $O_{xy}$ の全体はその開被覆なので、有限個で覆えます。そこに現れる有限個の冪 $k(x,y)$ と $k_0$ の最大値を $K$ とし、$k_1=K+k_0$ とおきます。

$k\ge k_1$、$p\ne q$ とします。$(p,q)$ は有限被覆のどれかに入るので、$k_0\le k'\le K$ なる $k'$ で $\varphi_{k'}(p)\ne\varphi_{k'}(q)$ となるものがあります。補題 6.2 の 2 から、$s(p)=0$、$s(q)\ne0$ となる $s\in H^0(X,L^{k'})$ があります。$k-k'\ge k_0$ なので、ステップ 1 から $t(q)\ne0$ となる $t\in H^0(X,L^{k-k'})$ があります。$s\otimes t\in H^0(X,L^k)$ は $p$ で消え $q$ で消えないので、$\varphi_k(p)\ne\varphi_k(q)$ です。

結論。 $k\ge k_1$ なら、$L^k$ は基点をもたず（ステップ 1）、$\varphi_k$ は単射で（ステップ 4）、すべての点で微分が単射です（ステップ 2）。補題 6.3 から $\varphi_k$ は閉な複素部分多様体への双正則写像です。

同値性。 3 ⇒ 1 はいま示しました。1 ⇒ 3：$X\subset\mathbb{P}^N$ なら $\mathcal{O}(1)|_X$ は正です。2 ⇔ 3 は 命題 2.2 の 2 です。最後の主張：$L$ が正なら $L^{k_1}$ は非常に豊富なので $L$ は豊富です。逆に $L^k$ が非常に豊富なら、$\varphi=\varphi_{L^k}$ は埋め込みで $L^k\cong\varphi^*\mathcal{O}(1)$（補題 6.2 の 1）なので、計量 $\varphi^*h_{FS}$ の第一 Chern 形式 $\varphi^*\omega_{FS}$ は正で（命題 4.2［Kähler 多様体］ の 1）、$L^k$ は正、したがって $L$ も正です。

∎

証明の構造をまとめます。ステップ 1・2 は 1 点についての条件で、爆発の上の消滅定理から直接出て、冪の下界 $k_0$ は点によりません。2 点を分ける条件は、各組について一つの冪で確かめ（ステップ 3）、切断の積を使って大きいすべての冪に広げ、コンパクト性で一様にしました（ステップ 4）。爆発は、$n\ge2$ のとき点のイデアル層が直線束でないことを補うためのもので、$n=1$ では不要です（演習 8.3）。

7. 応用と例

7.1. Riemann 面

系 7.1（コンパクト Riemann 面は射影的）✓

$X$ を連結なコンパクト Riemann 面とする。

1. 正則直線束 $L$ が正であることと $\deg L\gt0$ は同値である。したがって $L$ が豊富であることとも同値である。
2. $X$ は射影的である。

証明（系 7.1）

1。 $L$ が正なら $\deg L=\int_Xc_1(L,h)\gt0$ です（正の 2 形式の積分）。逆に $\deg L\gt0$ とします。$X$ に Hermite 計量を入れると Kähler 計量で（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 3）、基本形式 $\omega$ について $a=\int_X\omega\gt0$ です。$X$ は連結で向き付けられたコンパクトな 2 次元多様体なので、$\int_X\colon H^2_{\mathrm{dR}}(X)\to\mathbb{R}$ は同型です（系 6.5［コホモロジーと双対性］ の 1）。$c_1(L,h)$ と $\frac{\deg L}{a}\omega$ は積分が等しいので同じ類を定め、後者は Kähler 形式です。命題 2.2 の 1 から $L$ は正です。豊富性との同値は 定理 6.4 です。

2。 点 $p\in X$ について $\deg\mathcal{O}(p)=1\gt0$（定理 7.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）なので $\mathcal{O}(p)$ は正で、定理 6.4 から $X$ は射影的です。

∎

実 2 次元ではすべての複素構造が代数的です。この事実は古典的には Riemann の存在定理（定数でない有理型関数の存在）として知られ、ここでは消滅定理から得られました。冪の具体的な下界は $\deg L\ge2g+1$ です（演習 8.3）。

7.2. 複素トーラスと Riemann の条件

$V$ を $n$ 次元の複素ベクトル空間、$\Lambda\subset V$ を格子、$X=V/\Lambda$ を複素トーラス、$\pi\colon V\to X$ を商写像とします。

定義 7.2（Riemann 形式）↗

$V$ 上の正定値 Hermite 形式 $H$（第 1 変数について複素線形）で、虚部 $E=\operatorname{Im}H$ が $\Lambda\times\Lambda$ の上で整数値を取るものがあるとき、$E$ を $(V,\Lambda)$ の Riemann 形式という。

$E$ は実双線形な交代形式で、$E(iu,iv)=E(u,v)$ をみたし、$H(u,v)=E(iu,v)+iE(u,v)$ により $H$ を復元します。実際 $\operatorname{Re}H(u,v)=\operatorname{Im}\bigl(iH(u,v)\bigr)=\operatorname{Im}H(iu,v)=E(iu,v)$ です。逆に、実双線形な交代形式 $E$ が $E(iu,iv)=E(u,v)$ と「$v\ne0$ なら $E(iv,v)\gt0$」をみたせば、$H(u,v)=E(iu,v)+iE(u,v)$ は正定値 Hermite 形式です。$H(iu,v)=-E(u,v)+iE(iu,v)=iH(u,v)$、$H(v,u)=E(iv,u)+iE(v,u)=E(iu,v)-iE(u,v)=\overline{H(u,v)}$（$E(iv,u)=E(-v,iu)=E(iu,v)$）、$H(v,v)=E(iv,v)$ だからです。

系 7.3（複素トーラスが射影的になる条件）✓

1. 複素トーラス $X=V/\Lambda$ が射影的であることと、$(V,\Lambda)$ が Riemann 形式をもつことは同値である。
2. $\theta=2^{1/5}$、$S=\begin{pmatrix}1&\theta\\\theta^2&\theta^4\end{pmatrix}$ とし、$\Lambda\subset\mathbb{C}^2$ を $(1,0)$、$(0,1)$、$i(1,\theta^2)$、$i(\theta,\theta^4)$ で生成される格子とする。$\mathbb{C}^2/\Lambda$ は Kähler 多様体だが射影的でない。

証明（系 7.3）

1、Riemann 形式から埋め込みへ。 $H$ を Riemann 形式を与える正定値 Hermite 形式、$E=\operatorname{Im}H$ とします。$\Lambda$ の $\mathbb{Z}$ 上の基底 $\lambda_1,\dots,\lambda_{2n}$ を取り、$\lambda=\sum_an_a\lambda_a$ に対し $\chi(\lambda)=(-1)^{\sum_{a\lt b}n_an_bE(\lambda_a,\lambda_b)}$ とおきます。$\mu=\sum_am_a\lambda_a$ について、$E(\lambda,\mu)=\sum_{a\lt b}(n_am_b-n_bm_a)E(\lambda_a,\lambda_b)\equiv\sum_{a\lt b}(n_am_b+m_an_b)E(\lambda_a,\lambda_b)\pmod2$ なので

$$\chi(\lambda+\mu)=\chi(\lambda)\chi(\mu)(-1)^{E(\lambda,\mu)}$$

です。$\lambda\in\Lambda$ に対し、$V$ 上の零点をもたない正則関数

$$e_\lambda(v)=\chi(\lambda)\exp\Bigl(\pi H(v,\lambda)+\frac\pi2H(\lambda,\lambda)\Bigr)$$

を考えます。$H(\lambda,\mu)-H(\mu,\lambda)=2iE(\lambda,\mu)$ を使うと

$$\frac{e_{\lambda+\mu}(v)}{e_\lambda(v+\mu)\,e_\mu(v)}=\frac{\chi(\lambda+\mu)}{\chi(\lambda)\chi(\mu)}\exp\Bigl(\frac\pi2\bigl(H(\lambda,\mu)-H(\mu,\lambda)\bigr)\Bigr)=(-1)^{E(\lambda,\mu)}e^{\pi iE(\lambda,\mu)}=1$$

です。したがって $\lambda\cdot(v,t)=(v+\lambda,e_\lambda(v)t)$ は $\Lambda$ の $V\times\mathbb{C}$ への作用で、双正則・自由・真性不連続です。商 $L=(V\times\mathbb{C})/\Lambda$ は複素多様体で（補題 6.1［複素多様体と正則写像］）、射影 $L\to X$ により正則直線束になります。$\pi$ が双正則になる開集合 $W\subset V$ の上で $v\mapsto[(v,1)]$ が正則枠を与え、変換関数は $e_\lambda$ です。

$V\times\mathbb{C}$ 上の関数 $\|(v,t)\|^2=|t|^2e^{-\pi H(v,v)}$ は、$|e_\lambda(v)|^2=\exp\bigl(2\pi\operatorname{Re}H(v,\lambda)+\pi H(\lambda,\lambda)\bigr)$ と $H(v+\lambda,v+\lambda)=H(v,v)+2\operatorname{Re}H(v,\lambda)+H(\lambda,\lambda)$ から $\Lambda$ の作用で不変で、$L$ の Hermite 計量 $h$ を定めます。上の正則枠のノルムの 2 乗は $e^{-\pi H(v,v)}$ なので、$V$ の座標 $v_1,\dots,v_n$ と $H_{jk}=H(e_j,e_k)$ について

$$\pi^*c_1(L,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\bigl(-\pi H(v,v)\bigr)=\frac i2\sum_{j,k}H_{jk}\,dv_j\wedge d\bar v_k$$

です。実接ベクトル $u\in V$ について、この形式の $(u,iu)$ での値は $\frac i2\sum H_{jk}\bigl(u_j\overline{iu_k}-iu_j\overline{u_k}\bigr)=H(u,u)\gt0$ なので、$c_1(L,h)$ は正です。定理 6.4 から $X$ は射影的です。

1、埋め込みから Riemann 形式へ。 $X$ が射影的なら Hodge 多様体で（定理 6.4）、整係数の類を代表する Kähler 形式 $\omega_0$ があります。$X$ に平坦な Kähler 計量を入れ、$[\omega_0]$ の調和代表元を $\omega_1=\omega_0+d\beta$ とします。調和形式は定数係数で（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2 の証明）、$[\omega_0]\in K^{1,1}$ なので $\omega_1$ は実の $(1,1)$ 形式です（定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2）。$\omega_1$ を $V$ 上の実双線形な交代形式とみなします。

正値性。 $u\in V$、$u\ne0$ を定ベクトル場とみなします。定ベクトル場は可換なので $(d\beta)(u,iu)=u(\beta(iu))-(iu)(\beta(u))$ です。定ベクトル場 $w$ と関数 $f$ について、平坦計量の体積形式は $w$ の流れで不変なので $w(f)\,\mathrm{vol}=d(f\,\iota_w\mathrm{vol})$ で、Stokes の定理から $\int_Xw(f)\,\mathrm{vol}=0$ です。よって

$$\omega_1(u,iu)\int_X\mathrm{vol}=\int_X\omega_0(u,iu)\,\mathrm{vol}\gt0$$

です。

整数性。 $\lambda,\mu\in\Lambda$ とし、$f\colon\mathbb{R}^2\to X$、$f(s,t)=\pi(s\lambda+t\mu)$ とします。$\mathbb{R}^2$ の 3 点 $(0,0),(1,0),(1,1)$ と $(0,0),(0,1),(1,1)$ を頂点とするアフィン単体 $a_1,a_2\colon\Delta^2\to\mathbb{R}^2$ について、$c=f\circ a_1-f\circ a_2$ は $X$ の滑らかな特異 2 鎖です。$f(1,t)=f(0,t)$、$f(s,1)=f(s,0)$ から、境界に現れる辺のうち対角線は打ち消し合い、残りは 2 本ずつ同じ特異単体が逆符号で現れるので $\partial c=0$ です。$a_1$ は向きを保ち $a_2$ は向きを逆にするので、積分写像（定義 5.1［コホモロジーと双対性］）について

$$I(\omega_1)(c)=\int_{[0,1]^2}f^*\omega_1=\omega_1(\lambda,\mu)$$

です。一方 $[\omega_1]=[\omega_0]$ は $H^2(X,\mathbb{Z})$ の像に入るので、定理 4.2［層コホモロジーと直線束］ の 2 と 定理 4.1［層コホモロジーと直線束］ の自然性から、滑らかな特異コチェインとして $I(\omega_1)=\phi+\delta\psi$（$\phi$ は整数値のコサイクル）と書けます。$\partial c=0$ なので $\omega_1(\lambda,\mu)=\phi(c)\in\mathbb{Z}$ です。

以上から $E=-\omega_1$ は整数値で、$E(iu,iv)=E(u,v)$（$(1,1)$ 型。補題 2.1［Kähler 多様体］ の 1）、$E(iu,u)=\omega_1(u,iu)\gt0$ をみたすので、Riemann 形式です。

2。 $\det S=\theta^4-\theta^3\ne0$ なので 4 つのベクトルは $\mathbb{R}$ 上 1 次独立で、$\Lambda$ は格子です。複素トーラスは Kähler です（命題 5.8［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の 2）。1 により、$E(iu,iv)=E(u,v)$ をみたし $\Lambda\times\Lambda$ 上で整数値の実交代形式が $E=0$ だけであることを示せば足ります。

$\Lambda$ の基底 $\lambda_1,\dots,\lambda_4$ による実座標 $x\in\mathbb{R}^4$ で $v=\Pi x$、$\Pi=(I\ \ T)$、$T=iS$ と書き、$E(x,y)=x^{\mathsf{T}}Ay$（$A$ は整数成分の交代行列）とします。$E$ を $\mathbb{C}^4$ に複素双線形に延ばします。$\Pi$ の複素線形な延長 $\mathbb{C}^4\to\mathbb{C}^2$ の核 $N$ は、$x+iJx$（$J=\Pi^{-1}i\Pi$ は $i$ 倍に対応する実行列）の全体です（$\Pi(x+iJx)=\Pi x+i\cdot i\Pi x=0$ で、次元は 2）。$\xi=x+iJx$、$\eta=y+iJy$ について、$E(Jx,Jy)=E(x,y)$ から

$$E(\xi,\eta)=E(x,y)-E(Jx,Jy)+i\bigl(E(Jx,y)+E(x,Jy)\bigr)=0$$

です（$E(Jx,y)=E(J^2x,Jy)=-E(x,Jy)$）。$N=\lbrace(-Tc,c) : c\in\mathbb{C}^2\rbrace$ なので、$A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\-A_{12}^{\mathsf{T}}&A_{22}\end{pmatrix}$ と $2\times2$ のブロックに分けると、条件は

$$T^{\mathsf{T}}A_{11}T-T^{\mathsf{T}}A_{12}+A_{12}^{\mathsf{T}}T+A_{22}=0$$

です。$A_{11}=\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}$、$A_{22}=\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}$、$A_{12}=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$（成分は整数）とおくと、$T^{\mathsf{T}}A_{11}T=a\det T\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ で、左辺の $(1,2)$ 成分は

$$a\det T-(qT_{11}+sT_{21})+(pT_{12}+rT_{22})+b=0$$

です。$T=iS$ を代入すると $\det T=\theta^3-\theta^4$ で、実部と虚部から

$$a(\theta^3-\theta^4)+b=0,\qquad-q-s\theta^2+p\theta+r\theta^4=0$$

を得ます。$x^5-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約なので（定理 4.1［多項式環と体の拡大］、$p=2$）、$\theta$ は次数 4 以下の $0$ でない有理係数多項式の根になりません（なれば、その多項式と $x^5-2$ の最大公約多項式が $x^5-2$ の定数でない真の因子になる）。よって $1,\theta,\theta^2,\theta^3,\theta^4$ は $\mathbb{Q}$ 上 1 次独立で、$a=b=0$、$p=q=r=s=0$、すなわち $E=0$ です。

∎

$n=1$ では、どの格子も Riemann 形式をもちます（演習 8.4）。$n\ge2$ では、2 の計算が示すように、Riemann 形式の存在は周期行列の成分の間の有理数係数の関係式を要求し、一般の格子はそれをみたしません。射影的な複素トーラスを Abel 多様体といいます。

7.3. 例

例 7.4（射影空間上の直線束のコホモロジー）

$\mathbb{P}^n$ 上で $\mathcal{O}(k)$ は $k\gt0$ のとき正、$k\lt0$ のとき負で、$K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ である（定理 5.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）。定理 4.1 から次が分かる。

• $k\gt0$、$p+q\gt n$ なら $H^q(\mathbb{P}^n,\Omega^p(k))=0$。$k\lt0$、$p+q\lt n$ なら $H^q(\mathbb{P}^n,\Omega^p(k))=0$。これらは Bott の公式の一部である。
• $\mathcal{O}(k)=K_{\mathbb{P}^n}\otimes\mathcal{O}(k+n+1)$ なので、$k\ge-n$、$q\gt0$ なら $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=0$。$k\le-1$、$q\lt n$ なら $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=0$。合わせて、$0\lt q\lt n$ ならすべての $k$ で $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=0$。
• Serre 双対から $H^n(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))\cong H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-k-n-1))^*$。

これは、代数幾何で Čech 複体から直接計算した結果（Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー）と一致する。

例 7.5（Hopf 曲面は正の直線束をもたない）

正の直線束をもつコンパクト複素多様体は Kähler である。Hopf 曲面は Kähler でないので（例 8.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）、正の直線束をもたず、射影的でない。実際 $H^2(X,\mathbb{Z})=0$ なので、どの直線束の第一 Chern 形式も完全形式で、正にはなれない（正の形式 $\omega$ について $\int_X\omega^2\gt0$）。

例 7.6（射影多様体の爆発は射影的）

$X$ を射影多様体、$L$ を正の直線束（たとえば $\mathcal{O}(1)|_X$）とする。補題 5.2 から、1 点の爆発 $\tilde X$ の上で $\sigma^*L^k\otimes\mathcal{O}(-E)$ は $k$ が大きいとき正で、定理 6.4 から $\tilde X$ は射影的である。その切断は、$x$ で消える $L^k$ の切断に対応する（補題 5.3）。したがって $\tilde X$ の埋め込みは、$x$ を通る $k$ 次超曲面の定める写像 $X\setminus\lbrace x\rbrace\to\mathbb{P}^{N-1}$ を $E$ の上まで延ばしたものである。

例 7.7（射影的でない Kähler 多様体）

系 7.3 の 2 は、Kähler だが射影的でないコンパクト複素多様体の例である。Lefschetz の $(1,1)$ 定理の言葉では、この 2 次元トーラスは $\operatorname{NS}(X)=0$（Picard 数 $0$）で、自明でない Chern 類をもつ直線束がない。K3 曲面にも射影的でないものがある。K3 曲面は 20 次元の族をなし、射影的なものはその中で 19 次元の部分族の可算和をなす（Barth–Hulek–Peters–Van de Ven の第 VIII 章）。どちらの場合も、整係数の格子 $H^2(X,\mathbb{Z})$ と部分空間 $H^{1,1}(X)$ の位置関係が複素構造とともに動き、$H^{1,1}$ が正の整数点を含むときだけ射影的になる。

注意 7.8（Chow の定理と GAGA）

射影空間 $\mathbb{P}^N$ の閉じた解析的部分集合は、有限個の斉次多項式の共通零点です（Chow の定理）。したがって 定理 6.4 の $\varphi_{L^k}(X)$ は非特異な射影代数多様体です。さらに、射影代数多様体 $X$ 上の連接解析的層は連接代数的層から来て、両者のコホモロジーは一致し、解析的な射は代数的です（Serre の GAGA）。とくに正則直線束は代数的な可逆層で、この章と前章の $H^q(X,\mathcal{O}(L))$ は代数幾何の層コホモロジー（層コホモロジー）に一致します。これにより、Kodaira の消滅定理・Serre 双対・Riemann–Roch の定理・Hodge 指数定理は、複素数体上の代数幾何の定理と同じ内容になります。この二つの定理はこの記事では証明せず、以後も使いません。出典は W.-L. Chow の 1949 年の論文と J.-P. Serre, “Géométrie algébrique et géométrie analytique”, Annales de l’Institut Fourier 6 (1956) で、Griffiths–Harris の第 1 章 3 節に Chow の定理の証明があります。

注意 7.9（正標数では消滅定理は成り立たない）

Kodaira の消滅定理の証明は調和形式を使うので、複素数体（標数 $0$ の体）に固有です。標数 $0$ の代数閉体上では代数的な証明があります（Deligne–Illusie, 1987）が、正標数では定理そのものが成り立ちません。M. Raynaud は、正標数の非特異な射影曲面 $X$ と豊富な直線束 $L$ で $H^1(X,L^{-1})\ne0$ となる例を構成しました（M. Raynaud, “Contre-exemple au « vanishing theorem » en caractéristique $p\gt0$”, C. P. Ramanujam — A Tribute, Springer, 1978）。

8. 演習

演習 8.1標準

$Y\subset\mathbb{P}^n$（$n\ge2$）を次数 $d$ の非特異な超曲面とします。$0\lt q\lt n-1$ で $H^q(Y,\mathcal{O}_Y)=0$、$\dim H^{n-1}(Y,\mathcal{O}_Y)=\binom{d-1}{n}$ を示してください。これから、平面曲線の種数と、$\mathbb{P}^3$ の 4 次曲面の $h^{0,1}$、$h^{0,2}$ を求めてください。

解答

$Y$ は $\mathcal{O}(d)$ の切断（$d$ 次斉次多項式）の零点集合で、非特異なので切断は $Y$ に沿って 1 位で消え、$\mathcal{O}(Y)\cong\mathcal{O}(d)$ です。補題 4.3（$W=\mathcal{O}$）から $0\to\mathcal{O}(-d)\to\mathcal{O}\to i_*\mathcal{O}_Y\to0$ は完全で、$H^q(\mathbb{P}^n,i_*\mathcal{O}_Y)\cong H^{0,q}(Y)\cong H^q(Y,\mathcal{O}_Y)$ です。長完全列

$$H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})\to H^q(Y,\mathcal{O}_Y)\to H^{q+1}(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-d))\to H^{q+1}(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})$$

を使います。$q\ge1$ で $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$ です。$1\le q\le n-2$ なら $q+1\lt n$ で $H^{q+1}(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-d))=0$（例 7.4）なので $H^q(Y,\mathcal{O}_Y)=0$ です。$q=n-1$ なら $H^{n-1}(Y,\mathcal{O}_Y)\cong H^n(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-d))\cong H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d-n-1))^*$ で、次元は $\binom{n+(d-n-1)}{n}=\binom{d-1}n$ です（定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1。$d\le n$ なら $0$）。

平面曲線（$n=2$）では $g=h^{0,1}=\binom{d-1}2=\frac{(d-1)(d-2)}2$ です。$\mathbb{P}^3$ の 4 次曲面では $h^{0,1}=0$、$h^{0,2}=\binom33=1$ で、例 8.4［Hodge 分解と Lefschetz 分解］ の Hodge ダイヤモンドの外周と一致します。

演習 8.2易

$\mathbb{C}^2$ の原点の爆発 $\tilde B$ を二つの座標近傍で書き、変換関数を求めてください。また $\mathcal{O}(E)|_E$ の変換関数から $\int_Ec_1(\mathcal{O}(E))=-1$ を確かめてください。

解答

$\tilde B_1$（$w_1\ne0$）の座標は $(t,u)$、$z_1=t$、$z_2=tu$、$u=w_2/w_1$ です。$\tilde B_2$（$w_2\ne0$）の座標は $(t',u')$、$z_2=t'$、$z_1=t'u'$、$u'=w_1/w_2$ です。共通部分（$u\ne0$）で $u'=1/u$、$t'=tu$ です。$E$ は $t=0$、$t'=0$ で、$u$ と $u'=1/u$ を座標とする $\mathbb{P}^1$ です。$\mathcal{O}(E)$ の正則枠 $e_1,e_2$（$s_E=te_1=t'e_2$）について $e_2=(t/t')e_1=u^{-1}e_1$ です。$E$ の上で、座標 $u$ の近傍の枠 $e_1$ と $u'=1/u$ の近傍の枠 $e_2$ の変換関数が $u^{-1}$ なので、演習 11.1［層コホモロジーと直線束］ の $k=-1$ の場合で、$\int_Ec_1(\mathcal{O}(E))=-1$、$\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$ です。

演習 8.3標準

$X$ を種数 $g$ の連結なコンパクト Riemann 面、$L$ を $\deg L\ge2g+1$ なる正則直線束とします。爆発を使わずに、$L$ が非常に豊富であることを示してください。また 定理 6.4 の証明のステップ 0 が要求する正値性と比べてください。

解答

消滅。 直線束 $L'$ が $\deg L'\gt2g-2$ をみたせば $H^1(X,\mathcal{O}(L'))=0$ です。実際 Serre 双対から $H^1(X,\mathcal{O}(L'))\cong H^0(X,\mathcal{O}(K_X\otimes L'^{-1}))^*$ で、$\deg(K_X\otimes L'^{-1})=2g-2-\deg L'\lt0$（系 9.5［層コホモロジーと直線束］）、$0$ でない正則切断をもつ直線束の次数は零点の個数で非負だからです（定理 7.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）。

完全列。 補題 4.3 を $Y=\lbrace p\rbrace$ に使うと、直線束 $L'$ について $0\to\mathcal{O}(L'(-p))\to\mathcal{O}(L')\to i_*L'_p\to0$ が完全で、$H^1(X,\mathcal{O}(L'(-p)))=0$ なら $H^0(X,L')\to L'_p$ は全射です。

(i) $L'=L$：$\deg L(-p)\ge2g\gt2g-2$ なので、$L$ は基点をもちません。(ii) $L'=L(-p)$ と点 $q\ne p$：$\deg L(-p-q)\ge2g-1\gt2g-2$ なので、$p$ で消え $q$ で消えない $L$ の切断があり、$\varphi_L(p)\ne\varphi_L(q)$ です。(iii) $L'=L(-p)$ と点 $p$：$\deg L(-2p)\gt2g-2$ なので $H^0(X,L(-p))\to L(-p)_p$ は全射です。$H^0(X,L(-p))=H_p$ で、$L(-p)_p=L_p\otimes T_p^*X$（$s_p$ で割ったあとの値は $d_ps$。補題 5.3 の $n=1$ の場合）なので、補題 6.2 の 3 から微分は単射です。補題 6.3 から $\varphi_L$ は閉埋め込みです。

比較。 $n=1$ では爆発は恒等写像で、ステップ 0 の $P$ は $L\otimes K_X^{-1}\otimes\mathcal{O}(-mp)$（$m=1,2$）です。これが正である条件は 系 7.1 から $\deg L-(2g-2)-m\gt0$ で、$m=2$ のとき $\deg L\ge2g+1$ です。上の議論と同じ下界が出ます。

演習 8.4易

$V=\mathbb{C}$、$\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$（$\operatorname{Im}\tau\gt0$）とします。$H(u,v)=u\bar v/\operatorname{Im}\tau$ が Riemann 形式を与えることを示し、対応する直線束の次数を求めてください。

解答

$H$ は正定値 Hermite 形式です。$E=\operatorname{Im}H$ について $E(1,1)=E(\tau,\tau)=0$、$E(\tau,1)=\operatorname{Im}\tau/\operatorname{Im}\tau=1$、$E(1,\tau)=-1$ なので、$E$ は $\Lambda\times\Lambda$ 上で整数値です。よって Riemann 形式で、楕円曲線はすべて射影的です。系 7.3 の証明の直線束 $L$ について $\pi^*c_1(L,h)=\frac{i}{2\operatorname{Im}\tau}dv\wedge d\bar v=\frac{dx\wedge dy}{\operatorname{Im}\tau}$ で、基本領域（$1$ と $\tau$ の張る平行四辺形、面積 $\operatorname{Im}\tau$）の上で積分すると $\deg L=1$ です。命題 9.4［層コホモロジーと直線束］ から $h^0(L)-h^1(L)=1$ で、$L$ の切断は Jacobi のテータ関数です。$L^3$ は次数 $3=2g+1$ なので非常に豊富で（演習 8.3）、楕円曲線を $\mathbb{P}^2$ の 3 次曲線として埋め込みます。

参考文献

• K. Kodaira, “On a differential-geometric method in the theory of analytic stacks”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 39 (1953) — 消滅定理の原論文。
• K. Kodaira, “On Kähler varieties of restricted type (an intrinsic characterization of algebraic varieties)”, Annals of Mathematics 60 (1954) — 埋め込み定理の原論文。
• D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Universitext, Springer, 2005 — 第 5 章 2 節（Kodaira の消滅定理）、3 節（Kodaira の埋め込み定理）、第 2 章 5 節（爆発）。
• P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978 — 第 1 章 2 節（消滅定理）、4 節（埋め込み定理）、第 2 章 6 節（複素トーラスと Riemann の条件）。
• J.-P. Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry（著者のウェブページで公開されている草稿）— 第 VII 章（Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式と消滅定理）。
• D. Mumford, Abelian Varieties, Oxford University Press, 1970 — 第 I 章（Riemann 形式と Lefschetz の定理）。
• J.-P. Serre, “Géométrie algébrique et géométrie analytique”, Annales de l’Institut Fourier 6 (1956)。