正則ベクトル束と正則切断

$X$ を複素多様体とする。階数 $r$ の複素ベクトル束（定義 2.1［ファイバー束・主束と接続］）$\pi:E\to X$ と、局所自明化の族 $\Phi_\alpha:\pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times\mathbb{C}^r$（$\{U_\alpha\}$ は開被覆）で、変換関数

がすべて正則写像であるものの組を正則ベクトル束という。$r=1$ のとき正則直線束という。このような局所自明化と、それらと正則な変換関数で結ばれる局所自明化を正則な局所自明化といい、対応する枠 $e_i(x)=\Phi_\alpha^{-1}(x,\boldsymbol{e}_i)$（$\boldsymbol{e}_i$ は標準基底）を正則枠という。開集合 $U$ 上の切断 $s$ が正則切断であるとは、正則な局所自明化での成分 $s_\alpha:U\cap U_\alpha\to\mathbb{C}^r$（$\Phi_\alpha(s(x))=(x,s_\alpha(x))$）が正則であることをいう。$U$ 上の正則切断の全体を $H^0(U,E)$ と書く。正則ベクトル束の間の束準同型が正則であるとは、正則な局所自明化で正則な行列値関数で表されることをいう。