Hermite 計量・接続・曲率

複素ベクトル束 $E$ の Hermite 計量 $h$ とは、各ファイバー $E_x$ 上の正定値 Hermite 内積 $h_x$（第 1 変数について線型、第 2 変数について共役線型）の族で、滑らかな切断 $s,t$ について $h(s,t)$ が滑らかな関数になるものをいう。枠 $e_1,\dots,e_r$ について $H=(H_{ij})$、$H_{ij}=h(e_j,e_i)$ とおくと、$H$ は正定値 Hermite 行列に値を取る関数で、成分のベクトルについて $h(s,t)=t^{*}Hs$ である。

$E$ の接続とは、複素線型写像 $\nabla:A^0(E)\to A^1(E)$ で $\nabla(fs)=df\otimes s+f\nabla s$ を満たすものをいう。枠について $\nabla e_j=\sum_iA^i{}_j\otimes e_i$ で接続形式 $A=(A^i{}_j)$（1 形式を成分とする行列）を定めると、成分について $\nabla s=ds+As$ である。$F=dA+A\wedge A$ を曲率形式という。$h(s,t)$ を形式係数の切断にも、形式の部分はウェッジ積として延ばす。接続が計量と両立するとは、$d\,h(s,t)=h(\nabla s,t)+h(s,\nabla t)$ がすべての $s,t\in A^0(E)$ で成り立つことをいう。