因子・主因子・有理型切断

定義 6.1（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§6）

$X$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と $f_\alpha\in\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ の族で、 $U_\alpha\cap U_\beta$ 上 $f_\alpha/f_\beta\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap U_\beta)$ となるものの組 $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ を考える。二つの組 $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ 、 $\{(V_\beta,f'_\beta)\}$ は、すべての $\alpha,\beta$ で $f_\alpha/f'_\beta\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap V_\beta)$ のとき同値であるという。同値類を $X$ の因子といい、 $f_\alpha$ を局所方程式という。因子の全体 $\operatorname{Div}(X)$ は、 $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}+\{(V_\beta,f'_\beta)\}=\{(U_\alpha\cap V_\beta,f_\alpha f'_\beta)\}$ を和、 $\{(X,1)\}$ を零元として可換群になる。
局所方程式がすべて正則関数に取れる因子を有効因子という。 $f\in\mathcal{M}^{*}(X)$ が定める因子 $\operatorname{div}(f)=\{(X,f)\}$ を主因子という。
正則直線束 $L$ （変換関数 $g_{\alpha\beta}$ ）の有理型切断とは、 $U_\alpha$ 上の有理型関数 $s_\alpha$ の族で $s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$ を満たすものをいう。すべての $s_\alpha$ が $\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ に属するとき、 $\operatorname{div}(s)=\{(U_\alpha,s_\alpha)\}$ は因子である。
因子 $D=\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ に対し、正則コサイクル $g_{\alpha\beta}=f_\alpha/f_\beta$ が定める正則直線束を $\mathcal{O}(D)$ と書く。 $\{f_\alpha\}$ は $\mathcal{O}(D)$ の有理型切断 $s_D$ で、 $\operatorname{div}(s_D)=D$ である。

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閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

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これを使っている定理

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