複素射影空間のコホモロジー環

定理 8.4（「Thom 類と Poincaré 双対」§8）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ とし、 $H\subset\mathbb{C}P^n$ を超平面、 $x=\eta_H\in H^2(\mathbb{C}P^n)$ をその Poincaré 双対とする。このとき

H^{*}(\mathbb{C}P^n)=\mathbb{R}[x]/(x^{n+1}),\qquad\int_{\mathbb{C}P^n}x^n=1

である。すなわち $H^{2j}(\mathbb{C}P^n)=\mathbb{R}x^j$ （ $0\le j\le n$ ）で、他の次数のコホモロジーは $0$ である。また $x=e(L^{*})=-e(L)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 100 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対
- 大域角形式の存在✓補題 8.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
- 最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
- Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性
  - Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性（上で展開済み）
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
  - Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対
  - Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性（上で展開済み）
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
  - 鉛直コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 3.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対✓定理 6.4・Thom 類と Poincaré 双対
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
Euler 類の性質✓命題 6.2・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
横断的な交わりは外積✓定理 5.8・Thom 類と Poincaré 双対
- 横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

$CP^{2k}$ は有向同境群で無限位数✓系 6.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式✓命題 5.5・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
平面曲線の次数と種数✓系 8.7・Thom 類と Poincaré 双対

複素射影空間のコホモロジー環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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