Euler 類は切断の零点集合の Poincaré 双対

定理 6.4（「Thom 類と Poincaré 双対」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた閉多様体、 $\pi\colon E\to M$ を階数 $r$ の向き付きベクトル束、 $s$ を零切断 $M_0=s_0(M)$ に横断的な切断とする。零点集合 $Z(s)=s^{-1}(M_0)$ は余次元 $r$ のコンパクトな部分多様体で、 $ds$ の鉛直成分の誘導する同型 $\nu_{Z(s),x}\to E_x$ で法束に向きを移し、命題 5.7 の規約で $Z(s)$ に向きを入れると

e(E)=\eta_{Z(s)}\in H^r(M)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 68 件、定義なども含めて 85 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
    Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
- ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対
- 局所化原理✓系 5.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
    横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
    正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対
    Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
    Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対
  - Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - 鉛直コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 3.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

複素射影空間のコホモロジー環✓定理 8.4・Thom 類と Poincaré 双対
平面曲線の次数と種数✓系 8.7・Thom 類と Poincaré 双対

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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