数学 › 微分位相 › Thom 類と Poincaré 双対

Thom 類の特徴づけと基本性質

命題 4.3（「Thom 類と Poincaré 双対」§4） ・ ✓公理まで証明済み

π ⁣:E→M\pi\colon E\to M を階数 rr の向き付きベクトル束とする。

  1. 閉形式 Φ′∈Ωcvr(E)\Phi'\in\Omega^r_{cv}(E) が Thom 形式であるためには、すべての x∈Mx\in M で ∫ExΦ′∣Ex=1\int_{E_x}\Phi'|_{E_x}=1 となることが必要十分である。
  2. （自然性）f ⁣:N→Mf\colon N\to M に対し f~∗Φ(E)=Φ(f∗E)\tilde f^{*}\Phi(E)=\Phi(f^{*}E)。
  3. （向き）ファイバーの向きを逆にした束 −E-E について Φ(−E)=−Φ(E)\Phi(-E)=-\Phi(E)。
  4. （Whitney 和）F→MF\to M を別の向き付きベクトル束とし、E⊕FE\oplus F に「EE、FF の順」の向きを入れる。射影を p1 ⁣:E⊕F→Ep_1\colon E\oplus F\to E、p2 ⁣:E⊕F→Fp_2\colon E\oplus F\to F とすると Φ(E⊕F)=p1∗Φ(E)∧p2∗Φ(F)\Phi(E\oplus F)=p_1^{*}\Phi(E)\wedge p_2^{*}\Phi(F)。
  5. （台の縮小）EE にファイバー計量を入れる。零切断を含む任意の開集合 OO に対し、台が OO に含まれる Thom 形式が存在する。MM がコンパクトで Φ′\Phi' が Thom 形式なら、定数 c>0c>0 による拡大 mc(v)=cvm_c(v)=cv について mc∗Φ′m_c^{*}\Phi' も Thom 形式で、supp⁡Φ′⊂{∣v∣≤R}\operatorname{supp}\Phi'\subset\{|v|\le R\} なら supp⁡mc∗Φ′⊂{∣v∣≤R/c}\operatorname{supp}m_c^{*}\Phi'\subset\{|v|\le R/c\} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

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