数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

Borsuk–Ulam の定理

定理 6.1（「交点数と写像度」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k\ge1$ とする。

滑らかな写像 $f\colon S^k\to\mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$ が奇写像（ $f(-x)=-f(x)$ ）ならば $W_2(f,0)=1$ である。
滑らかな奇写像 $f\colon S^k\to S^k$ の写像度は奇数である。
連続写像 $g\colon S^k\to\mathbb{R}^k$ に対し、 $g(x)=g(-x)$ となる点 $x\in S^k$ が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 203 件、定義なども含めて 238 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
    コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理
  - 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
    中間値の定理✓定理 6.1・連結性この先をたどる →
  - 重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分この先をたどる →
- Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
- 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度
  - 向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度この先をたどる →
  - mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度
  - 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度
  - 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性この先をたどる →

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ハムサンドイッチの定理✓系 6.2・交点数と写像度

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