数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度

補題 7.4（「交点数と写像度」§7） ・ ✓公理まで証明済み

M⊂RNM\subset\mathbb{R}^N をコンパクトな境界のない nn 次元部分多様体（n≥1n\ge1、N≥2N\ge2）とする。ε 近傍定理（定理 7.3［横断性］ (3)）の定数 ε\varepsilon と最近点への射影 π\pi を取り、0<ε′<ε0<\varepsilon'<\varepsilon に対し

N′={w∈RN:dist⁡(w,M)≤ε′},g ⁣:∂N′→SN−1,g(w)=w−π(w)ε′N'=\{w\in\mathbb{R}^N:\operatorname{dist}(w,M)\le\varepsilon'\},\qquad g\colon\partial N'\to S^{N-1},\quad g(w)=\frac{w-\pi(w)}{\varepsilon'}

とおく。N′N' はコンパクトな NN 次元の境界付き多様体で、gg は ∂N′\partial N' の外向き単位法ベクトルである。VV を MM 上の滑らかなベクトル場で零点がすべて非退化なものとすると、チャート表示 vv について

∑V(z)=0sign⁡det⁡dvz=deg⁡g\sum_{V(z)=0}\operatorname{sign}\det dv_z=\deg g

が成り立つ。とくに左辺は VV によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 187 件、定義なども含めて 220 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件