境界付き部分多様体

$X$ を $n$ 次元の境界付き多様体とする。部分集合 $W\subset X$ が $m$ 次元の境界付き部分多様体であるとは、各 $p\in W$ に対し、$p$ の $W$ における開近傍 $W_0$ と、$\mathbb{H}^m$ の開集合 $\hat W$ からの同相写像 $\alpha\colon\hat W\to W_0$ で、$\alpha$ が $X$ への写像として滑らかで各点の微分が単射であるものが存在することをいう。このような $\alpha^{-1}$ を $W$ のチャートとする。