Jordan–Brouwer の分離定理（滑らかな場合）
とし、 をコンパクトで連結な境界のない 次元部分多様体とする。
- の連結成分はちょうど 2 つで、有界な成分 （内側）と非有界な成分 （外側）である。
- について、 と は同値である。
- はコンパクトな 次元の境界付き多様体で、境界は である。とくに は向き付け可能である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 101 件、定義なども含めて 123 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度
境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
境界で横断的なら内部だけ動かせばよい✓系 9.4・横断性
横断性の拡張定理✓定理 9.3・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性（上で展開済み）
- 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性 この先をたどる →
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性 この先をたどる →
- パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性 この先をたどる →
境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性（上で展開済み）
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
- 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル（上で展開済み）
正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
- 沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
1 次元多様体の境界の点は偶数個✓系 4.5・横断性
- 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性（上で展開済み）
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性（上で展開済み）
- 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性 この先をたどる →
- 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性 この先をたどる →
- 境界点であることはチャートによらない✓補題 4.2・ストークスの定理 この先をたどる →
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 平面の中の円周は円板を囲む✓補題 4.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口