数学 › 数学基礎 › 関係と同値関係

同値関係と分割の対応

定理 4.4（「関係と同値関係」§4） ・ ✓公理まで証明済み

XX を集合とする。XX 上の同値関係全体の集合を Eq(X)\mathrm{Eq}(X)、XX の分割全体の集合を Part(X)\mathrm{Part}(X) と書く。写像

Φ:Eq(X)→Part(X),Φ(∼)=X/ ⁣∼Ψ:Part(X)→Eq(X),aΨ(P)b:  ⟺  ∃A∈P, (a∈A かつ b∈A)\begin{aligned} \Phi &: \mathrm{Eq}(X) \to \mathrm{Part}(X), &&\quad \Phi(\sim) = X/\!\sim \\[2pt] \Psi &: \mathrm{Part}(X) \to \mathrm{Eq}(X), &&\quad a \mathrel{\Psi(\mathcal{P})} b :\iff \exists A \in \mathcal{P},\ (a \in A \ \text{かつ}\ b \in A) \end{aligned}

はいずれも well-defined であり、互いに逆写像である。すなわち Ψ∘Φ=id\Psi \circ \Phi = \mathrm{id} かつ Φ∘Ψ=id\Phi \circ \Psi = \mathrm{id} が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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