回転数と孤立零点の局所指数

定義 5.1（「交点数と写像度」§5）

$X$ をコンパクトな境界のない $(n-1)$ 次元多様体、 $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、 $z\notin f(X)$ とする。 $u_z=(f-z)/|f-z|\colon X\to S^{n-1}$ の mod 2 写像度を $W_2(f,z)$ と書き、 $f$ の $z$ のまわりの mod 2 回転数という。 $X$ が向き付けられているとき、 $W(f,z)=\deg u_z$ を回転数という。 $X\subset\mathbb{R}^n$ のときは包含写像について $W_2(X,z)$ と書く。
$D$ を向き付けられた $n$ 次元多様体、 $G\colon D\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、 $x\in\operatorname{Int}D$ を $G$ の孤立した零点とする。コンパクトな $n$ 次元の境界付き部分多様体 $B\subset\operatorname{Int}D$ で、 $x\in\operatorname{Int}B$ かつ $B$ が $x$ 以外の零点を含まないもの（チャートの小さな閉球など）を取り、 $\operatorname{ind}_x(G)=W(G|_{\partial B},0)=\deg\bigl(G/|G|\colon\partial B\to S^{n-1}\bigr)$ を $G$ の $x$ における局所指数という（ $\partial B$ には $B$ の境界としての向きを入れる）。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。