交わりの符号と向き付きの交点数

定義 2.1 の状況で、さらに $X,Y,Z$ が向き付けられているとする。$f\pitchfork Z$、$x\in f^{-1}(Z)$、$z=f(x)$ のとき、次元の関係から $df_x$ は単射で $df_x(T_xX)\oplus T_zZ=T_zY$ である。$T_xX$ の正の基底 $(v_1,\dots,v_k)$ と $T_zZ$ の正の基底 $(w_1,\dots,w_l)$ について、

が $T_zY$ の正の基底であるとき $\operatorname{sign}_x(f,Z)=+1$、負の基底であるとき $-1$ と定め、交わりの符号という。

を $f$ と $Z$ の交点数という。一般の $f$ に対しては、ホモトピックで横断的な $g$ を取って $I(f,Z)=I(g,Z)$ と定める。$X$ が $Y$ のコンパクトな向き付けられた部分多様体のときは、包含写像を $f$ として $I(X,Z)$ と書く。$X=Z$ のとき $I(X,X)$ を自己交点数という。