Lefschetz 写像・局所 Lefschetz 数

$X$ をコンパクトな向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体、$f\colon X\to X$ を滑らかな写像とする。対角集合 $\Delta$ とグラフ $\Gamma_f=\{(x,f(x))\}$ は $X\times X$ の $n$ 次元部分多様体で、$X$ からの埋め込み $x\mapsto(x,x)$、$\gamma_f\colon x\mapsto(x,f(x))$ で向きを移す。

を $f$ の（交点数による）Lefschetz 数という。$\Gamma_f\pitchfork\Delta$ のとき $f$ を Lefschetz 写像といい、不動点 $x$ における交わりの符号 $L_x(f)=\operatorname{sign}_{(x,x)}(\Delta,\Gamma_f)$ を局所 Lefschetz 数という。