数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

コンパクトな台を持つベクトル場は完備

命題 2.7（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 66 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

    • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性

    • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性

      • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
      • 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性

      • 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性

    • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束

      • 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
      • 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
      • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束

      • 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性

    • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性

      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性

      • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法 この先をたどる →
      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性

      • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性

      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分

      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
    • 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分

      • 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
      • 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
  • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性

    • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性

      • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
• 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

関連するノック 1 問

• 多様体論 第 78 問