数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

Morse 不等式

定理 7.3（「Morse 理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

$M$ をコンパクトな $n$ 次元多様体、 $f$ を Morse 関数とし、指数 $k$ の臨界点の個数を $C_k$ とする。このとき $b_k(M)$ は有限で、 $k>n$ で $b_k=0$ であり、

（強 Morse 不等式）すべての $\lambda\ge0$ で $\displaystyle\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}b_k\le\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}C_k$ 。
$\lambda\ge n$ では 1 は等号で、 $\displaystyle\chi(M):=\sum_{k=0}^n(-1)^kb_k=\sum_{k=0}^n(-1)^kC_k$ 。
（弱 Morse 不等式）すべての $k$ で $b_k\le C_k$ 。とくに $f$ の臨界点の総数は $\sum_kb_k$ 以上である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 90 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
- 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論
  - ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
  - 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー
    ホモロジー群定義 2.3・特異ホモロジー
    命題 2.2✓特異ホモロジー
    ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
  - 切除定理✓定理 5.3・特異ホモロジー
    ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
    小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
    五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
    Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジーこの先をたどる →
    ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
- コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間
  - LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間
    コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性
  - 連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像
    点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 変位レトラクト定義 2.6・基本群と被覆空間
交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 有理化は完全性を保つ✓補題 7.1・Morse 理論
  - 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
    核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術
双対ハンドル分解✓命題 6.2・ハンドル分解と手術
Heegaard 分解の存在✓定理 8.1・ハンドル分解と手術
Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度
閉多様体のコホモロジーは有限次元✓補題 2.1・Thom 類と Poincaré 双対

Morse 不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件