ハンドル鎖複体

$M$ を閉 $n$ 次元多様体、$f$ を自己指数的な Morse 関数、$\xi$ を勾配状ベクトル場とし、$M_\lambda=f^{-1}((-\infty,\lambda+\tfrac12])$、$V_\lambda=f^{-1}(\lambda+\tfrac12)$ とおく。指数 $\lambda$ の各臨界点 $p$ の下降円板 $D(p)$ に向きを選ぶ。

1. $C_\lambda:=H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1})$ は、下降円板の類 $[D(p)]$（$p$ は指数 $\lambda$ の臨界点）を基底とする自由アーベル群で、$k\ne\lambda$ では $H_k(M_\lambda,M_{\lambda-1})=0$ である。
2. $d_{\lambda+1}\colon C_{\lambda+1}\to C_\lambda$ を、対の長完全列の連結準同型 $H_{\lambda+1}(M_{\lambda+1},M_\lambda)\to H_\lambda(M_\lambda)$ と $H_\lambda(M_\lambda)\to H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1})$ の合成とすると、$d_\lambda\circ d_{\lambda+1}=0$ で、$H_k(M)\cong\ker d_k/\operatorname{im}d_{k+1}$ である。
3. 指数 $\lambda+1$ の臨界点 $q$ の下降球面 $A_q\subset V_\lambda$ が、指数 $\lambda$ のすべての臨界点 $p$ の上昇球面 $B_p\subset V_\lambda$ と横断的に交わるとする。このとき $$d_{\lambda+1}[D(q)]=\sum_pn(q,p)\,[D(p)],\qquad n(q,p)=\sum_{s\in A_q\cap B_p}\epsilon_s,$$ ここで $\epsilon_s=\pm1$ は、$B_p$ の管状近傍 $\mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}$ の射影 $\mathrm{pr}_1$ を $A_q$ に制限した写像の $s$ での微分が、$A_q$ の向き（$D(q)$ の境界としての向き）と $\mathbb{R}^\lambda$ の向き（$D(p)$ の向き）について向きを保つか逆にするかの符号である。すなわち $n(q,p)$ は、$B_p$ の法束を $D(p)$ の向きで向き付けて数えた、$A_q$ と $B_p$ の交点の符号つきの個数で（$V_\lambda$ と $B_p$ が向き付けられているときは、$p$、$q$ によらない全体の符号を除いて 定理 3.4［交点数と写像度］ の交点数 $I(A_q,B_p)$ に一致する）、$2$ を法として $p$ から $q$ への軌道の本数に等しい。