ハンドル分解による整数係数の双対

補題 5.2（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§5）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた閉 $n$ 次元多様体とする。すべての $k$ について

H_{n-k}(M)\cong\operatorname{Hom}(H_k(M),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{k-1}(M),\mathbb{Z})

である。より詳しく、自己指数的な Morse 関数 $f$ と、すべての指数で下降球面と上昇球面が横断的に交わる勾配状ベクトル場を取り、下降円板 $D(p)$ の向きを選んで、上昇円板 $A(p)$ の向きを「 $D(p)$ の向き、 $A(p)$ の向きの順に並べると $p$ で $M$ の向きになる」ように決めると、 $n-f$ のハンドル鎖複体 $C'_*$ は、 $f$ のハンドル鎖複体 $C_*$ の双対複体 $\operatorname{Hom}(C_{n-*},\mathbb{Z})$ に、 $[A(p)]$ を $[D(p)]$ の双対基底の $\pm1$ 倍（符号は次数だけで決まる）に写す同型で同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 201 件、定義なども含めて 231 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術
- 一般の位置✓系 9.5・横断性
  - 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性（上で展開済み）
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性（上で展開済み）
- 多径数の族に対する安定性✓系 5.4・横断性（上で展開済み）
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論この先をたどる →
横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性この先をたどる →
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
  - 法束は多様体✓補題 7.2・横断性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
- 正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性この先をたどる →
- パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
多径数の族に対する安定性✓系 5.4・横断性
- 安定性定理✓定理 5.2・横断性この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性この先をたどる →
イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
ハンドル鎖複体✓命題 6.1・ハンドル分解と手術
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 切除定理✓定理 5.3・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 局所写像度の和公式✓定理 5.4・胞体ホモロジーと写像度
- 局所微分同相の局所写像度✓補題 4.8・交点数と写像度この先をたどる →
普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
- 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

ハンドル分解による整数係数の双対

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件