引き戻し・部分束・商束・向き

$\pi\colon E\to M$ を階数 $r$ のベクトル束とする。

1. 滑らかな写像 $f\colon N\to M$ に対し、$f^{*}E=\{(x,e)\in N\times E:f(x)=\pi(e)\}$ を $E$ の $f$ による引き戻しという。ファイバーは $(f^{*}E)_x=E_{f(x)}$ で、$E$ の $U_\alpha$ 上の枠 $(s_i)$ から $f^{-1}(U_\alpha)$ 上の枠 $(s_i\circ f)$ が得られ、変換関数は $g_{\alpha\beta}\circ f$ である。部分多様体 $Z\subset M$ の包含写像による引き戻しを $E|_Z$ と書く。
2. 部分集合 $F\subset E$ が階数 $k$ の部分束であるとは、各点のまわりに $E$ の枠 $(s_1,\dots,s_r)$ で、$s_1(x),\dots,s_k(x)$ が $F_x=F\cap E_x$ の基底になるもの（$F$ に適合した枠）があることをいう。$E/F=\bigsqcup_xE_x/F_x$ を商束という。
3. $E$ の向きとは、各ファイバー $E_x$ の向きの選択で、各点のまわりに、すべての点で正の基底を与える枠があるものをいう。向きを持つ束を向き付け可能という。