Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる

補題 3.3（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を閉多様体、 $f,g\colon M\to S^k$ を滑らかにホモトピックな滑らかな写像とし、 $(y,b)$ 、 $(z,b')$ をそれぞれ $f$ 、 $g$ の正則値と、そこでの正の向きの基底とする。このとき $(f^{-1}(y),f^*b)$ と $(g^{-1}(z),g^*b')$ は枠付き同境である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性
    接バンドルは 2n 次元多様体である✓定理 8.2・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理
    はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
    部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
  - 法束は多様体✓補題 7.2・横断性
    埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性（上で展開済み）
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル（上で展開済み）
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
  - 沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性
- 境界は 1 次元低い多様体✓命題 4.4・ストークスの定理
  - 境界点であることはチャートによらない✓補題 4.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
- 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）✓定理 3.7・同境と Pontryagin–Thom 構成
Hopf の写像度定理（一般の定義域）✓系 4.1・同境と Pontryagin–Thom 構成

Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件