向き付け不可能な場合

系 4.2（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を連結で向き付け不可能な閉 $n$ 次元多様体（ $n\ge2$ ）とする。正則値の逆像の点の個数の偶奇（ $\bmod2$ 写像度）は全単射 $[M,S^n]\to\mathbb{Z}/2$ を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 179 件、定義なども含めて 208 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 次元多様体の境界の点は偶数個✓系 4.5・横断性
- 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性
  - 連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
    共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性この先をたどる →
    連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性この先をたどる →
    同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係この先をたどる →
  - 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性この先をたどる →
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
  - 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性この先をたどる →
  - 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性この先をたどる →
- 境界点であることはチャートによらない✓補題 4.2・ストークスの定理
  - 境界付き多様体定義 4.1・ストークスの定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Hopf の写像度定理（一般の定義域）✓系 4.1・同境と Pontryagin–Thom 構成
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性（上で展開済み）
- Hopf の写像度定理✓系 6.2・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - 写像度の基本性質✓命題 5.2・胞体ホモロジーと写像度この先をたどる →
  - GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - $π_n(S^n) = ℤ$ ✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理この先をたどる →
- Pontryagin–Thom 構成（枠付きの場合）✓定理 3.7・同境と Pontryagin–Thom 構成
  - 滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致✓系 8.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）
  - 枠付き部分多様体は Pontryagin 多様体である✓補題 3.5・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
  - 積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
  - 同じ Pontryagin 多様体をもつ写像はホモトピック✓補題 3.6・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 分離と連結性定義 2.1・連結性
- GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
- Pontryagin 多様体の同境類は写像のホモトピー類で決まる✓補題 3.3・同境と Pontryagin–Thom 構成
  - GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
  - 滑らかな近似（Whitney）✓定理 8.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性この先をたどる →
  - 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性この先をたどる →
イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

向き付け不可能な場合

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）