数学 › 微分位相 › 同境と Pontryagin–Thom 構成

偶数次元の射影空間は境界にならない

系 2.8（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 225 件、定義なども含めて 257 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 射影空間の Euler 標数✓補題 2.7・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成

    • 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術

      • カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
      • 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
      • Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
      • Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論 この先をたどる →
    • ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術

      • 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
      • 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
      • 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
      • 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
      • 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術

      • 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
      • 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
      • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
    • 境界の外への延長✓補題 2.2・ハンドル分解と手術

      • カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
      • 境界付き多様体定義 4.1・ストークスの定理
      • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    • 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論

      • 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論 この先をたどる →
    • 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論

      • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
      • コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
      • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
      • 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性 この先をたどる →
      • ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー この先をたどる →
    • 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー

      • ホモロジー群定義 2.3・特異ホモロジー
      • 命題 2.2✓特異ホモロジー
      • ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
• 境界になる閉多様体の Euler 標数は偶数✓命題 2.6・同境と Pontryagin–Thom 構成

  • Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成（上で展開済み）
  • 双対ハンドル分解✓命題 6.2・ハンドル分解と手術

    • ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
    • Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論

      • 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
      • 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論（上で展開済み）
      • 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論（上で展開済み）
      • 交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論 この先をたどる →
    • ハンドル鎖複体✓命題 6.1・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
    • 交点数の対称性✓命題 3.5・交点数と写像度

      • 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性 この先をたどる →
      • 多径数の族に対する安定性✓系 5.4・横断性 この先をたどる →
      • イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
      • 向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 次元 2 以下の同境群✓定理 2.9・同境と Pontryagin–Thom 構成