数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 III
クラス 𝒮 の多様体の基本群
とする。
- が自明ならば、 は に微分同相である。
- が有限群ならば、 は球面空間形に微分同相である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 103 件、定義なども含めて 126 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
球面の自由な商の基本群✓補題 2.12・ポアンカレ予想 I
- 被覆空間定義 3.1・基本群と被覆空間
- n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間（上で展開済み）
普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間
持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間
- 系 3.7✓基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 球面空間形定義 2.11・ポアンカレ予想 I
- 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間
van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
- van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理 この先をたどる →
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理 この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理 この先をたどる →
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理 この先をたどる →
円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間
- 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
系 3.7✓基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
連結和の基本群✓命題 2.7・ポアンカレ予想 I
- 連結和定義 6.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
- van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間（上で展開済み）
van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 自由積の因子は単射で入り、両方が自明でなければ無限群✓補題 5.1・ポアンカレ予想 III
球面との連結和は元の多様体✓補題 3.2・ポアンカレ予想 III
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 手術つき Ricci flow の存在と有限時間消滅からポアンカレ予想が従う△定理 5.5・ポアンカレ予想 III
- 楕円化（球面空間形予想）△系 5.6・ポアンカレ予想 III