球面の自由な商の基本群
とし、有限群 が に同相写像で自由に（単位元以外は固定点を持たずに）作用しているとする。商空間 に商位相を入れると、商写像 は被覆写像で、
とくに球面空間形 の基本群は に同型で、単連結な球面空間形は だけである。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 34 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 被覆空間定義 3.1・基本群と被覆空間
n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間
van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理 この先をたどる →
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理 この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理 この先をたどる →
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理 この先をたどる →
普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間
持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間
系 3.7✓基本群と被覆空間
ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
- 球面空間形定義 2.11・ポアンカレ予想 I
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- クラス 𝒮 の多様体の基本群✓補題 5.3・ポアンカレ予想 III