数学 › 代数的位相幾何学 › 基本群と被覆空間

普遍被覆の被覆変換群

定理 7.2（「基本群と被覆空間」§7）・ ✓公理まで証明済み

$p:(\tilde X,\tilde x_0)\to(X,x_0)$ を普遍被覆とする。

各 $\tilde x\in p^{-1}(x_0)$ に対し、 $d(\tilde x_0)=\tilde x$ なる被覆変換 $d$ がただ一つ存在する。
$[\gamma]\mapsto d_{[\gamma]}$ （ $d_{[\gamma]}(\tilde x_0)=$ $\gamma$ の $\tilde x_0$ 始点の持ち上げの終点）は群同型 $\pi_1(X,x_0)\cong\operatorname{Deck}(\tilde X/X)$ を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
- 系 3.7✓基本群と被覆空間（上で展開済み）
持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
系 3.7✓基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

被覆空間の Galois 対応✓定理 7.4・基本群と被覆空間
球面の自由な商の基本群✓補題 2.12・ポアンカレ予想 I
SU(2) は SO(3) の普遍被覆✓定理 8.2・行列 Lie 群と指数写像

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