被覆空間の Galois 対応

$X$ を道連結・局所道連結・半局所単連結とし、$x_0\in X$ とする。

1. 各部分群 $H\le\pi_1(X,x_0)$ に対し、被覆 $p_H:(X_H,\tilde x_H)\to(X,x_0)$ で $X_H$ が道連結かつ $(p_H)_*\pi_1(X_H)=H$ となるものが存在する。
2. 道連結な総空間を持つ二つの被覆 $p:(\hat X,\hat x)\to(X,x_0)$, $p':(\hat X',\hat x')\to(X,x_0)$ について、$p_*\pi_1(\hat X)=p'_*\pi_1(\hat X')$ ならば、基点を保つ同相 $\phi:\hat X\to\hat X'$ で $p'\phi=p$ なるものが存在する。
3. したがって、基点付き連結被覆の同型類は $\pi_1(X,x_0)$ の部分群と 1 対 1 に対応し、$X_H$ の被覆変換群は $N(H)/H$（$N(H)$ は $H$ の正規化群）と同型である。特に $H$ が正規部分群のとき $\operatorname{Deck}(X_H/X)\cong\pi_1(X,x_0)/H$ で、$X_H\to X$ は $\operatorname{Deck}$ が各ファイバーに推移的に働く被覆（正規被覆または Galois 被覆）になる。