数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 III

手術つき Ricci flow の存在と有限時間消滅からポアンカレ予想が従う

定理 5.5（「ポアンカレ予想 III」§5） ・ △証明あり（閉包未完）

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

• 手術つき Ricci flow の存在（Perelman）※定理 2.4・ポアンカレ予想 III
• 有限時間消滅（Perelman、Colding–Minicozzi）※定理 4.1・ポアンカレ予想 III
• 消滅する流れの初期多様体はクラス 𝒮 に属する△補題 5.4・ポアンカレ予想 III

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単連結な多様体は向き付け可能✓補題 2.5・ポアンカレ予想 I

  • 被覆空間定義 3.1・基本群と被覆空間
  • 被覆の次数と部分群の指数✓命題 3.10・基本群と被覆空間

    • 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
    • ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間

      • 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間 この先をたどる →
      • Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 系 3.7✓基本群と被覆空間

      • ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    • 道の積の群的性質✓命題 2.2・基本群と被覆空間
  • 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理

    • 中間値の定理✓定理 6.1・連結性

      • R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性 この先をたどる →
      • 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性 この先をたどる →
• Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

  • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理

    • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
• 手術つき Ricci flow の存在（Perelman）※定理 2.4・ポアンカレ予想 III
• 有限時間消滅（Perelman、Colding–Minicozzi）※定理 4.1・ポアンカレ予想 III
• 消滅する流れの初期多様体はクラス 𝒮 に属する△補題 5.4・ポアンカレ予想 III

  • クラス 𝒮定義 5.2・ポアンカレ予想 III
  • 手術つき Ricci flow の存在（Perelman）※定理 2.4・ポアンカレ予想 III
  • 手術と連結和✓命題 3.4・ポアンカレ予想 III

    • 2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和✓補題 3.3・ポアンカレ予想 III この先をたどる →
• クラス 𝒮 の多様体の基本群✓補題 5.3・ポアンカレ予想 III

  • 球面の自由な商の基本群✓補題 2.12・ポアンカレ予想 I

    • 被覆空間定義 3.1・基本群と被覆空間
    • n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    • 普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 球面空間形定義 2.11・ポアンカレ予想 I
  • 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
  • n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間

    • 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
    • 可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間 この先をたどる →
  • 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間

    • 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
    • ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    • 系 3.7✓基本群と被覆空間（上で展開済み）
  • 連結和の基本群✓命題 2.7・ポアンカレ予想 I

    • 連結和定義 6.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    • n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    • 積空間の基本群✓命題 2.11・基本群と被覆空間
    • van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • van Kampen の定理✓定理 6.1・基本群と被覆空間 この先をたどる →
  • 自由積の因子は単射で入り、両方が自明でなければ無限群✓補題 5.1・ポアンカレ予想 III
  • 球面との連結和は元の多様体✓補題 3.2・ポアンカレ予想 III

    • 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
    • 連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 楕円化（球面空間形予想）△系 5.6・ポアンカレ予想 III

関連するノック 1 問

• 未解決問題と大定理 第 18 問