手術つき Ricci flow の存在（Perelman）

$(M,g_0)$ を向き付けられた閉 $3$ 次元 Riemann 多様体とする。手術のパラメータ（時刻について非増加な正の関数 $r(t)$、$\delta(t)$）を適切に選ぶと、$(M,g_0)$ から出発する手術つき Ricci flow がすべての時刻 $t\in[0,\infty)$ で定義され、次を満たす。

1. （位相）各 $k\ge1$ について、$M_k$ は、$M_{k-1}$ に互いに交わらない有限個の埋め込まれた $2$ 次元球面に沿った位相的な手術（定義 3.1）を施し、その結果の成分のうち、球面空間形、$S^2\times S^1$、$\mathbb{R}P^3\#\mathbb{R}P^3$ のいずれかに微分同相なものをいくつか捨てたものに、向きを保って微分同相である。
2. （幾何）各有限区間 $[0,t]$ の上で、流れは Hamilton–Ivey の pinching 評価、ある $\kappa(t)\gt0$ についての非崩壊、パラメータ $r(t)$ の標準近傍の性質を満たす。
3. （スカラー曲率）時刻 $t$ の多様体の上のスカラー曲率の最小値 $R_{\min}(t)$ は、手術の時刻をまたいでも、第 4 章の 系 5.2［ポアンカレ予想 I］ (1)(3) の評価を満たす。