数学 › 代数的位相幾何学 › 基本群と被覆空間

被覆の次数と部分群の指数

命題 3.10（「基本群と被覆空間」§3）・ ✓公理まで証明済み

$p:\tilde X\to X$ を被覆写像とする。

$X$ が連結なら、 $|p^{-1}(x)|$ は $x$ によらない。したがって $p$ の次数が定まる。
$\tilde X$ が道連結で $\tilde x_0\in p^{-1}(x_0)$ ならば、 $p^{-1}(x_0)$ と剰余類の集合 $p_*\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)\backslash\pi_1(X,x_0)$ の間に全単射がある。とくに $p$ の次数は指数 $[\pi_1(X,x_0):p_*\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)]$ に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
系 3.7✓基本群と被覆空間
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
道の積の群的性質✓命題 2.2・基本群と被覆空間

これを使っている定理証明で参照している 1 件

単連結な多様体は向き付け可能✓補題 2.5・ポアンカレ予想 I