数学 › 代数的位相幾何学 › Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理

π₃(SU(2)) = π₃(S³) = ℤ と π₃(S²) = ℤ

系 6.5（「Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 97 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• $π_n(S^n) = ℤ$✓系 6.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理

  • 写像度は準同型✓命題 5.1・ホモトピー群とファイブレーション

    • Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー

      • ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
      • 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー この先をたどる →
    • ホモトピー群の基本性質✓命題 2.4・ホモトピー群とファイブレーション

      • 道の積の群的性質✓命題 2.2・基本群と被覆空間
  • 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間

    • 指数写像 R → S¹ は被覆写像✓補題 3.2・基本群と被覆空間
    • ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間

      • 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間 この先をたどる →
      • Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 系 3.7✓基本群と被覆空間

      • ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間（上で展開済み）
  • 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーション

    • 単体近似✓補題 7.4・胞体ホモロジーと写像度

      • Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
      • 重心細分の鎖ホモトピー✓補題 5.1・特異ホモロジー
    • 零ホモトピーと円板への拡張✓補題 2.5・ホモトピー群とファイブレーション
  • Hurewicz の定理✓定理 5.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理

    • Eilenberg の部分複体✓補題 4.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理 この先をたどる →
    • ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
    • H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
    • 境界関係式✓補題 5.3・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理 この先をたどる →
    • h は準同型✓補題 2.4・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理 この先をたどる →
    • 基本類の選び方✓補題 2.2・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理 この先をたどる →
  • 写像度定義 5.1・胞体ホモロジーと写像度
  • 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー

    • H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
    • Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー（上で展開済み）
    • ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー この先をたどる →
• Hopf ファイブレーションの帰結✓定理 4.3・ホモトピー群とファイブレーション

  • Hopf ファイブレーション✓命題 4.2・ホモトピー群とファイブレーション
  • ファイバー束はファイブレーション✓命題 3.6・ホモトピー群とファイブレーション

    • Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性 この先をたどる →
  • ファイブレーションの長完全列✓定理 3.7・ホモトピー群とファイブレーション

    • Serre ファイブレーション定義 3.4・ホモトピー群とファイブレーション
    • 対のホモトピー長完全列✓定理 3.3・ホモトピー群とファイブレーション この先をたどる →
  • 被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
  • 球面の低次ホモトピー群✓命題 2.6・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
  • 円周の基本群✓定理 4.1・基本群と被覆空間（上で展開済み）
• 被覆空間の高次ホモトピー群✓系 3.8・ホモトピー群とファイブレーション

  • ファイバー束はファイブレーション✓命題 3.6・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
  • ファイブレーションの長完全列✓定理 3.7・ホモトピー群とファイブレーション（上で展開済み）
  • SU(2) は SO(3) の普遍被覆✓定理 8.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
    • 微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
    • n ≥ 2 の球面は単連結✓命題 6.3・基本群と被覆空間 この先をたどる →
    • 普遍被覆の被覆変換群✓定理 7.2・基本群と被覆空間 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• π₃(SU(N)) = ℤ✓定理 6.8・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
• Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成