閉部分多様体の Poincaré 双対

$M$ を向き付けられた $n$ 次元多様体とする。

1. $S\subset M$ を、$M$ の閉集合であるような向き付けられた $k$ 次元部分多様体、$\iota\colon S\to M$ を包含写像とする。すべての $[\omega]\in H^k_c(M)$ に対し $$\int_S\iota^{*}\omega=\int_M\omega\wedge\eta_S$$ を満たすただ 1 つの類 $\eta_S\in H^{n-k}(M)$ を、$S$ の Poincaré 双対という。
2. より一般に、コンパクトな向き付けられた境界のない $k$ 次元多様体 $A$ からの滑らかな写像 $g\colon A\to M$ に対し、$\int_Ag^{*}\omega=\int_M\omega\wedge\eta_g$（$[\omega]\in H^k_c(M)$）で定まる類 $\eta_g\in H^{n-k}(M)$ を $g$ の Poincaré 双対という。