数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 II
Stieltjes 行列の不完全 Cholesky 分解は破綻しない
が Stieltjes 行列なら、上の算法のすべての段で であり、各 は Stieltjes 行列である。得られる下三角行列 は対角成分が正で、 では であり、
が成り立つ。とくに は正定値である（Meijerink–van der Vorst の対称な場合）。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 55 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
Stieltjes 行列の特徴づけ✓補題 6.3・Krylov 部分空間法 II
主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理 この先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理 この先をたどる →
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル この先をたどる →
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理 この先をたどる →
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理 この先をたどる →
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化 この先をたどる →
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
- 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理（上で展開済み）
非負行列のスペクトル半径の単調性✓補題 6.2・Krylov 部分空間法 II
行列の冪の収束✓系 5.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形 この先をたどる →
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数 この先をたどる →
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。