行列の冪の収束

系 5.3（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{C})$ について、 $A^k\to0$ （ $k\to\infty$ 、成分ごと、あるいは同じことだが任意の行列ノルムで） $\iff\rho(A)<1$ 。さらに $\rho(A)<1$ なら、任意の誘導ノルムについて定数 $c>0$ と $\theta<1$ があって $\|A^k\|\le c\,\theta^k$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
  - 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性（上で展開済み）
スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
    直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

非負行列のスペクトル半径の単調性✓補題 6.2・Krylov 部分空間法 II
定常反復の収束の同値条件✓定理 2.2・定常反復法

行列の冪の収束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件