スペクトル半径と誘導ノルム

定理 5.2（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{C})$ とする。

$\mathbb{C}^n$ の任意のノルムから誘導されるノルムについて $\rho(A)\le\|A\|$ 。
任意の $\varepsilon>0$ に対し、 $\mathbb{C}^n$ のあるノルム $\|\cdot\|_{A,\varepsilon}$ が存在して、それから誘導されるノルムで $\|A\|_{A,\varepsilon}\le\rho(A)+\varepsilon$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

行列の冪の収束✓系 5.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
定常反復の収束の同値条件✓定理 2.2・定常反復法
狭義対角優位なら Jacobi 法と Gauss–Seidel 法は収束する✓定理 3.1・定常反復法
行列式の対数の級数✓補題 5.7・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 2 部

スペクトル半径と誘導ノルム

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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