狭義対角優位なら Jacobi 法と Gauss–Seidel 法は収束する

定理 3.1（「定常反復法」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A = (a_{ij})$ が行について狭義対角優位、すなわちすべての $i$ で $|a_{ii}| > \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ とする。このとき $\rho(G_{\mathrm{GS}}) \le \|G_{\mathrm{J}}\|_\infty < 1$ かつ $\rho(G_{\mathrm{J}}) \le \|G_{\mathrm{J}}\|_\infty < 1$ であり、Jacobi 法と Gauss–Seidel 法は任意の初期値で収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対角優位行列✓系 2.3・行列の固有値評価と不等式
- ゲルシュゴリンの円板定理✓定理 2.2・行列の固有値評価と不等式
- 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
- 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル（上で展開済み）
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル（上で展開済み）
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
定常反復の収束の同値条件✓定理 2.2・定常反復法
- 行列の冪の収束✓系 5.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - 有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
  - スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
- スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
- 有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

狭義対角優位なら Jacobi 法と Gauss–Seidel 法は収束する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）