数学 › 数値線形代数 › 行列のノルムと線形方程式の条件数

1・∞・2 ノルムの公式

命題 4.2（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb{K})$ について

$\|A\|_1=\max_j\sum_i|a_{ij}|$ （列和の最大）。
$\|A\|_\infty=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ （行和の最大）。
$\|A\|_2=\sigma_1$ （最大特異値）。とくに $\|A^{*}\|_2=\|A\|_2$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
- 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 10 件

Cholesky 分解の後退安定性✓系 3.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
正規方程式の条件数✓命題 4.4・最小二乗問題
最小二乗問題の感度✓定理 6.2・最小二乗問題
部分ピボット選択つき Gauss 消去のノルムによる後退誤差✓系 4.3・Gauss 消去と LU 分解
ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
スペクトル半径と誘導ノルム✓定理 5.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
成分ごとの摂動の評価✓命題 7.8・行列のノルムと線形方程式の条件数
狭義対角優位なら Jacobi 法と Gauss–Seidel 法は収束する✓定理 3.1・定常反復法
特異値の摂動✓系 6.2・対称固有値問題と特異値分解の計算

関連するノック 5 問