成分ごとの摂動の評価

$A$ を正則、$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ とする。

1. $(A+\Delta A)(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})=\boldsymbol{b}+\Delta\boldsymbol{b}$、$|\Delta A|\le\varepsilon|A|$、$|\Delta\boldsymbol{b}|\le\varepsilon|\boldsymbol{b}|$、$\varepsilon\operatorname{cond}(A)<1$ ならば $\|\Delta\boldsymbol{x}\|_\infty/\|\boldsymbol{x}\|_\infty\le2\varepsilon\operatorname{cond}(A,\boldsymbol{x})/(1-\varepsilon\operatorname{cond}(A))$。
2. 正則な対角行列 $D$ について $\operatorname{cond}(DA)=\operatorname{cond}(A)$、$\operatorname{cond}(DA,\boldsymbol{x})=\operatorname{cond}(A,\boldsymbol{x})$。
3. $\operatorname{cond}(A,\boldsymbol{x})\le\operatorname{cond}(A)\le\kappa_\infty(A)$。