作用素ノルムと最良低階数近似

$A=U\Sigma V^{*}$ を特異値分解とする。

1. $\|A\boldsymbol{x}\|^2=\sum_{i\le r}\sigma_i^2|\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_i\rangle|^2$。とくに最大値が存在して $\|A\|=\sigma_1$。
2. $0\le k<r$ に対し $A_k=\sum_{i\le k}\sigma_i\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{v}_i^{*}$（階数 $k$）とおくと、$\|A-A_k\|=\sigma_{k+1}$。
3. 階数 $k$ 以下の任意の行列 $B$（$0\le k<r$）に対し $\|A-B\|\ge\sigma_{k+1}$。すなわち $A_k$ は階数 $k$ 以下の行列の中で $A$ に最も近い（エッカート・ヤング、ミルスキー）。