部分ピボット選択つき Gauss 消去のノルムによる後退誤差

系 4.3（「Gauss 消去と LU 分解」§4）・ ✓公理まで証明済み

部分ピボット選択つき Gauss 消去で計算した解 $\hat{\boldsymbol{x}}$ は

(A+\Delta A)\hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{b},\qquad\|\Delta A\|_\infty\le n^2\gamma_{3n}\,\hat\rho_n(A)\,\|A\|_\infty

を満たす。したがってノルムに関する後退誤差（定義 7.1［行列のノルムと線形方程式の条件数］、 $\infty$ ノルム）は $n^2\gamma_{3n}\hat\rho_n(A)$ 以下である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss 消去による解の後退誤差✓定理 3.3・Gauss 消去と LU 分解
- 三角方程式の後退誤差✓補題 3.1・Gauss 消去と LU 分解
  - 1 ステップの丸め誤差✓補題 4.1・行列計算の認証と最適化の証明書
    丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算（上で展開済み）
    誤差因子の積✓補題 3.2・浮動小数と区間演算
  - γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差
- LU 分解の後退誤差✓定理 3.2・Gauss 消去と LU 分解
  - 1 ステップの丸め誤差✓補題 4.1・行列計算の認証と最適化の証明書（上で展開済み）
- γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
部分ピボット選択の成長因子✓定理 4.2・Gauss 消去と LU 分解
- 四則の標準モデル✓系 3.1・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの方向と正しい丸め定義 2.2・浮動小数点数と丸め誤差
  - 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
    浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。