三角方程式の後退誤差

補題 3.1（「Gauss 消去と LU 分解」§3）・ ✓公理まで証明済み

$T\in\mathbb{F}^{n\times n}$ を対角成分が $0$ でない下三角行列、 $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^n$ とし、前進代入

\hat x_i=\mathrm{fl}\Bigl(\bigl(b_i-\textstyle\sum_{k=1}^{i-1}t_{ik}\hat x_k\bigr)/t_{ii}\Bigr)

（和は $s\leftarrow\mathrm{fl}(s-\mathrm{fl}(t_{ik}\hat x_k))$ で $k=1,\ldots,i-1$ の順に計算する）で $\hat{\boldsymbol{x}}$ を求める。このとき

(T+\Delta T)\hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{b},\qquad|\Delta T|\le\gamma_n|T|

となる下三角行列 $\Delta T$ がある。上三角行列の後退代入（ $k$ を任意の順に計算してよい）についても同じことが成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 ステップの丸め誤差✓補題 4.1・行列計算の認証と最適化の証明書
- 丸めの誤差モデル✓定理 2.4・浮動小数と区間演算
  - 浮動小数の間隔✓補題 2.2・浮動小数と区間演算
- 誤差因子の積✓補題 3.2・浮動小数と区間演算
γₙ の計算規則✓補題 3.2・浮動小数点数と丸め誤差