最小二乗問題の感度

定理 6.2（「最小二乗問題」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\operatorname{rank}A=n$ 、 $\boldsymbol{x}=A^{+}\boldsymbol{b}$ 、 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}$ とし、 $\theta$ を $\sin\theta=\|\boldsymbol{r}\|/\|\boldsymbol{b}\|$ （ $0\le\theta<\pi/2$ を仮定する、すなわち $A\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ ）で定める。 $\|E\|\le\|A\|$ 、 $\|\boldsymbol{f}\|\le\|\boldsymbol{b}\|$ とし、 $\boldsymbol{x}(\varepsilon)=(A+\varepsilon E)^{+}(\boldsymbol{b}+\varepsilon\boldsymbol{f})$ とおく。このとき $\varepsilon\to0$ で

\frac{\|\boldsymbol{x}(\varepsilon)-\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}\le|\varepsilon|\left(\frac{2\kappa(A)}{\cos\theta}+\kappa(A)^2\tan\theta\right)+O(\varepsilon^2).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 59 件、定義なども含めて 68 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

擬似逆の微分✓補題 6.1・最小二乗問題
- 最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題（上で展開済み）
- Moore–Penrose の条件✓命題 4.3・最小二乗問題（上で展開済み）
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
  - 有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
Moore–Penrose の条件✓命題 4.3・最小二乗問題
- 最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題（上で展開済み）
- 擬似逆による最小ノルム解✓定理 4.2・最小二乗問題
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題
- 最良近似✓定理 7.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
  - ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
  - 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
正規方程式の条件数✓命題 4.4・最小二乗問題
- 特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数この先をたどる →
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
- ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形この先をたどる →
  - 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

最小二乗問題の感度

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）