数学 › 線形代数学 › 内積空間とグラム・シュミット直交化

最良近似

定理 7.2（「内積空間とグラム・シュミット直交化」§7）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を内積空間、 $W\subseteq V$ を有限次元部分空間、 $x\in V$ とする。任意の $w\in W$ に対して

\|x-P_Wx\| \le \|x-w\|

が成り立ち、等号が成立するのは $w=P_Wx$ のとき、かつそのときに限る。すなわち $P_Wx$ は $W$ の中で $x$ に最も近い点であり、そのような点は一意である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 4 件

最良近似アフィン部分空間✓定理 5.1・主成分分析
最小二乗推定量と射影✓定理 2.2・線形モデル
最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題
箱の上の 1 形式の Poincaré 不等式✓補題 4.2・準備 3 の 2

関連するノック 3 問