最良近似アフィン部分空間

定理 5.1（「主成分分析」§5）・ ✓公理まで証明済み

$1 \le k \le p$ とする。 $k$ 次元線形部分空間 $V \subseteq \mathbb{R}^p$ と点 $\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^p$ が定めるアフィン部分空間 $A = \boldsymbol{c} + V$ に対し、当てはめ誤差を

E(\boldsymbol{c}, V) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \operatorname{dist}(\boldsymbol{x}_i, A)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left\| (I - P_V)(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{c}) \right\|^2

と定める。このとき

\min_{\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^p,\ \dim V = k} E(\boldsymbol{c}, V) = \lambda_{k+1} + \lambda_{k+2} + \cdots + \lambda_p

であり、最小値は $\boldsymbol{c} = \bar{\boldsymbol{x}}$ 、 $V = \operatorname{span}\{\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k\}$ で達成される（ $k = p$ のとき右辺は $0$ と読む）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最良近似✓定理 7.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化
主成分得点の性質✓命題 4.2・主成分分析
- 中心化データ行列と標本共分散行列定義 2.1・主成分分析
- 実対称行列のスペクトル定理✓定理 2.5・主成分分析
  - 注意 2.6主成分分析
  - 標本共分散行列は対称かつ半正定値✓補題 2.4・主成分分析
レイリー商の最大値✓定理 3.1・主成分分析
- 実対称行列のスペクトル定理✓定理 2.5・主成分分析（上で展開済み）
ベッセルの不等式注意 7.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

最良近似アフィン部分空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）